• Langue : Anglais, Français
• Discipline : Mathématiques et leurs interactions
• Identifiant : 2025ULILB027
• Type de thèse : Doctorat
• Date de soutenance : 14/11/2025

Résumé en langue originale

Les motivations de cette thèse sont d'une part le Problème du Sous-espace Invariant, et d'autre part le comportement asymptotique des produits aléatoires de matrices.Nous nous intéressons, dans un premier temps, aux propriétés typiques des contractions positives sur un espace de Banach ayant une base de Schauder, notre but principal étant d'étudier si une contraction typique positive sur un tel espace de Banach possède un sous-espace invariant non trivial. Nous étudierons ce problème pour différentes topologies polonaises d'opérateurs.Dans un second temps, nous nous intéressons à la dynamique linéaire des produits aléatoires d'opérateurs de la formeT_n(?) = T(?^{n-1}(?)) ... T(?(?)) T(?).En d'autres termes, nous cherchons à étudier la dynamique linéaire de la suite (T_n(?))_{n ? 1} pour presque tout ? dans le tore. Ces produits aléatoires dépendent d'une transformation ergodique ? sur le tore et d'une application fortement mesurable T(.) sur le tore, à valeurs opérateurs sur un espace de Fréchet séparable X.Il s'agit d'étudier l'influence de la transformation ergodique et des opérateurs T(?) sur l'universalité de la suite (T_n(?))_{n ? 1} pour presque tout ?. Nous étudierons principalement le cas où l'opérateur T(?) est égal à un certain opérateur T_1 lorsque ? appartient à A_1, et égal à un certain opérateur T_2 lorsque ? appartient à A_2, où (A_1, A_2) est une partition mesurable non triviale de [0,1).

Résumé traduit

The motivations of this thesis are, on the one hand, the Invariant Subspace Problem, and on the other hand, the asymptotic behavior of random products of matrices. We first study typical properties of positive contractions on a Banach space with a Schauder basis, the main goal being to shed some light on the question of whether a typical positive contraction on such a Banach space has a non-trivial invariant subspace. We will study this problem for different Polish operator topologies. In the second part, we investigate the linear dynamics of random products of operators of the formT_n(?) = T(?^{n-1}(?)) ... T(?(?)) T(?).In other words, we study the linear dynamics of the sequence (T_n(?))_{n ? 1} for almost every ? in the torus. These random products depend on an ergodic transformation ? on the torus and a strongly measurable map T(.) on the torus, taking values in the space of operators on a separable Fréchet space X. The aim is to study the influence of the ergodic transformation and of the operators T(?) on the universality of the sequence (T_n(?))_{n ? 1} for almost every ?. We will mainly consider the case where the operator T(?) equals a fixed operator T_1 when ? belongs to A_1, and another fixed operator T_2 when ? belongs to A_2, where (A_1, A_2) is a non-trivial measurable partition of [0,1).