• Langue : Anglais
• Discipline : Mathématiques et leurs interactions
• Identifiant : 2025ULILB021
• Type de thèse : Doctorat
• Date de soutenance : 21/10/2025

Résumé en langue originale

Le but de cette thèse est d'étudier le type d'homotopie d'espaces d'applications opéradiques. Dans une première partie, nous étudions les algèbres pré-Lie différentielles graduées à puissances divisées sur un anneau de caractéristique positive, et construisons une théorie de la déformation contrôlée par ces algèbres. Nous montrons que cette théorie de la déformation admet un analogue au théorème de Goldman-Millson, puis appliquons cette théorie au calcul des composantes connexes d'un espace d'applications dans la catégorie des opérades symétriques. Dans une seconde partie, nous définissons et étudions une notion d'espace de Maurer-Cartan simplicial associé à une algèbre brace complète. Nous montrons qu'une algèbre brace détermine une algèbre pré-Lie à homotopie près simpliciale à puissances divisées. L'espace de Maurer-Cartan simplicial est donné par les solutions de l'équation de Maurer-Cartan dans cette algèbre. Nous déterminons le type d'homotopie de cet ensemble simplicial, et montrons une extension du théorème de Goldman-Millson satisfaite par ces espaces simpliciaux. Nous montrons que nous pouvons décrire un espace d'applications dans la catégorie des opérades non symétriques en tant qu'espace de Maurer-Cartan simplicial associé à une certaine brace algèbre complète. Nous exprimons enfin un espace d'application dans la catégorie des opérades symétriques en tant qu'ensemble de Maurer-Cartan degré par degré de certaines algèbres pré-Lie à homotopie près à puissances divisées.

Résumé traduit

The aim of this thesis is to study the homotopy of operadic mapping spaces. In the first part, we study differential graded pre-Lie algebras with divided powers and construct a deformation theory controled by these algebras. We prove that this deformation theory admits an analogue of the Goldman-Millson theorem, and apply this theory to the computation of the connected components of a mapping space in the category of symmetric operads. In a second part, we define and study a notion of simplicial Maurer-Cartan set associated to a complete brace algebra. For this purpose, we use that any brace algebra determines a simplicial pre-Lie algebra up to homotopy with divided powers. The simplicial Maurer-Cartan set is given by the solutions of the Maurer-Cartan equation in this algebra. We determine the homotopy type of this simplicial Maurer-Cartan set and prove an extension of the Goldman-Millson theorem. We show that we can describe a mapping space in the category of non-symmmetric operads as a simplicial Maurer-Cartan set of some complete brace algebra. We finally describe a mapping space in the category of symmetric operads as a degree-wise Maurer-Cartan set of some pre-Lie algebras up to homotopy with divided powers.