• Langue : Français
• Discipline : Mathématiques
• Identifiant : Inconnu
• Type de thèse : Doctorat
• Date de soutenance : 01/01/2000

Résumé en langue originale

Lorsque deux fonctions entières f et g vérifient l'égalité f (z+1) - f (z) = g (z) pour tout z complexe, on dit que f est la somme de g. Il est connu que toute fonction entière d'ordre donné admet une somme entière (Guichard, 1887) de même ordre (Whittaker, 1935). Nous nous intéressons un peu plus généralement à l'équation fonctionnelle f (z + sigma) - f (z) = g (z) où sigma est complexe. Si g vérifie une condition de croissance à l'infini de la forme g (z) = O (e [exposant] s|z|alpha), peut-on trouver f entière vérifiant de même f (z) = O (e [exposant] t|z|bêta), avec des relations précises données sur les valeurs relatives de alpha, bêta, s, t et sigma ? Nous abordons cette question du point de vue de l'analyse fonctionnelle. D'une part nous considérons l'opérateur S sigma f (z) = f (z + sigma) - f (z). D'autre part nous relions les conditions de croissance sur les fonctions à des conditions d'intégrabilité dans une classe d'espaces L² à poids que nous définissons et notons H (s, alpha). Au cours de l'étude de ces espaces, nous donnons le noyau d'Aronszajn - Bergman d'une classe plus générale d'espaces L² à poids : celle où ce dernier ne dépend que du module de la variable. Nous étudions ensuite l'action des opérateurs de translation T sigma f (z) = f (z+ sigma) sur les espaces H (s,alpha). Ensuite nous donnons des conditions suffisantes sur les valeurs relatives de alpha, bêta, s, t, et sigma pour que S sigma induise un opérateur non-borné, fermé, à domaine dense et surjectif de H (t, Bêta) dans H (s, alpha). Pour cela, nous utilisons une méthode d'estimations a priori, c'est-à-dire que nous démontrons l'existence d'une constante C > 0 telle que l'intégralité || g || [inférieur ou égal] C. || S*sigma g || ait lieu pour toute fonction g du domaine de l'opérateur adjoint S*sigma. L'intérêt des espaces H (s, alpha) est de ramener cette inégalité entre séries, dont les termes dérivent des coefficients de Taylor des fonctions. Nous donnons aussi une application à l'équation f (z + sigma) - af (z) = g (z) avec a complexe.