• Langue : Français
• Discipline : Mathématiques
• Identifiant : Inconnu
• Type de mémoire : Habilitation à diriger des recherches
• Date de soutenance : 10/12/2013

Résumé en langue originale

Le Chapitre 1 concerne essentiellement des phénomènes de compétition (en l'espace) entre plusieurs régions infectées, dont les croissances sont gouvernées par un modèle de percolation de dernier passage. Il y est notamment établi que la probabilité de coexistence des trois régions infectées est égal à 6-8log2. De plus, l'arbre des géodésiques produit par le modèle de percolation de dernier passage ne peut contenir trois (ou plus) géodésiques infinies dans la même direction. Le Chapitre 2 synthétisent des résultats de Géométrie aléatoire. Une première partie porte sur des graphes aléatoires couvrants ; le Radial Spanning Tree (RST) et la Directed Spanning Forest (DSF). Nous prouvons en particulier que la DSF admet presque sûrement une unique fin topologique. Le modèle Quermass s'interprète comme un modèle Booléen poissonnien avec interaction géométrique entre les grains. À condition que l'intensité du processus de Poisson sous-jacent soit assez grande, le modèle exhibe un phénomène de percolation, i.e. il existe un composante connexe non bornée. La symétrisation de Steiner, appliquée dans une direction, a pour effet d'« arrondir » un convexe donné (i.e. elle conserve le volume et réduit la surface). En appliquant consécutivement cette transformation dans des directions i.i.d. et uniformément distribuées sur la sphère, nous obtenons des résultats de convergence presque sûre avec estimation de la vitesse. Enfin, le Chapitre 3 recense des résultats plus anciens, prolongeant mon travail de thèse et portant sur le modèle d'Ising. En s'inspirant de la théorie des graphes aléatoires « à la Erdös et Rényi », nous étudions l'apparition de configurations locales dans le modèle d'Ising.