• Langue : Anglais
• Discipline : Mathématiques et leurs interactions
• Identifiant : 2025ULILB054
• Type de thèse : Doctorat
• Date de soutenance : 12/12/2025

Résumé en langue originale

Cette these est une compilation de plusieurs résultats indépendents.Nous montrons l'existence d'une connexion parabolique à poids rationnels, a partir d'une connexion logarithmique intègrable à monodromies quasi-unipotentes.Ensuite, nous définissons le groupe fondamental demi-fini, et nous déduisons une suite exacte d'homotopie pour le groupe fondamental semi-fini. Nous prouvons une formule de Künneth pour le groupe fondamental de Rham, en utilisant l'extension universelle, d'après Nori. Nous prouvons un théorème de Lefschetz pour le groupe Tannakien des connexions intègrables sur une variété lisse et projective. Nous prouvons une formule de Künneth pour le groupe fondamental des connexions régulières à l'infini et nous donnons une contre-exemple pour le groupe Tannakien de toutes les connexions.Ensuite, nous travaillons sur un corps de caractéristique p. Nous nous intéressons aux modules différentiels sur une variété lisse. En utilisant le point de vue des cristaux et des faisceaux F-divisés, nous prouvons un théorème de Lefschetz et nous montrons que la cohomologie infinitésimale de Grothendieck est de dimension finie sur une variété lisse et propre.Pour finir, nous incluons deux résultats partiels sur la génération de la catégorie dérivée d'une variété torique lisse, par la collection de Thomsen des fibrés en droites. C'est connu comme la conjecture de Bondal qui a été bien établie. Nous la traitons du point de vue de la géométrie birationnelle. En particulier, nous la vérifions en cas de dimension 3, en utilisant le théorème de la factorisation faible.

Résumé traduit

This thesis consists several parts which are independent among each other.We prove the existence of a parabolic connection, starting from an integrable logarithmic connection with quasi-unipotent monodromies.We include some results on various Tannakian groups of connections in characteristic 0. We define the semi-finite fundamental group and prove a homotopy exact sequence for it. We prove the Künneth formula for the de Rham fundamental group, using the universal extension of Nori. Over a smooth projective variety, we prove a Lefschetz theorem for the Tannakian group of integrable connections. We prove a Künneth formula for the Tannakian group of regular singular connections and disprove it in the irregular case.Then we work in characteristic p. We are interested in D-modules overa smooth variety. Using the point of view of crystals and of F-divided sheaves,we prove a Lefschetz theorem, and we prove that Grothendieck's infinitesimalcohomology is of finite dimension, over a smooth and proper variety.To finish, we include 2 partial results on the generation of derived categoryof a smooth toric variety, using Thomsen collection of line bundles. This is knownas Bondal's claim. In particular, we give a new and complete proof for smoothtoric threefolds