• Langue : Français
• Discipline : Mathématiques pures
• Identifiant : 2001LIL10036
• Type de thèse : Doctorat
• Date de soutenance : 01/01/2001

Résumé en langue originale

Cette thèse est une contribution à l'étude des anneaux noethériens non commutatifs. Nous étudions les idéaux premiers et l'algèbre homologique dans une classe d'anneaux noethériens qui contient les algèbres enveloppantes et les anneaux d'opérateurs différentiels. Fixons un corps k de caractéristique 0. Soient R une k-algèbre noethérienne, g une k-algèbre de Lie de dimension finie qui agit sur R par dérivations, U(g) l'algèbre enveloppante de g et A le produit croisé de R par U(g). Dans la première partie de cette thèse, g est complètement résoluble et parfois nilpotente. Nous étendons à l'anneau à certains résultats connus dans les anneaux d'opérateurs différentiels et dans les algèbres enveloppantes. Plus precisément, nous étudions la formule des hauteurs de Tauvel, la catenarite et la localisation dans A. Comme résultat sur la localisation, nous donnons des conditions suffisantes pour que les idéaux primitifs du localisé de A par rapport à la clique d'un idéal premier soient engendrés par une suite régulière normalisante ; c'est la version non commutative de la régularité d'un anneau commutatif. Nous avons utilisé ce résultat pour calculer les invariants de Bass. Dans la deuxième partie, g est souvent semi-simple et l'injection canonique de g dans A est un morphisme d'algèbres de Lie. Nous définissons les catégories de modules sur U(g), A et sur l'anneau des invariants ainsi que les sous catégories formées de modules localement finis. Nous établissons l'existence de foncteurs entre ces catégories tels que les foncteurs hom, les foncteurs d'induction, le foncteur qui associe à tout A-module son plus grand sous module localement fini et certains foncteurs dérivés. Nous relions ces foncteurs dérivés par des suites spectrales. Nous obtenons des isomorphismes entre certains groupes des Ext. Nous étudions les modules projectifs, les modules injectifs et les extensions essentielles dans les diverses catégories. Nous calculons le groupe de Picard de l'anneau des invariants et nous discutons de la semi-simplicité de la catégorie des A-modules localement finis. La plupart de nos résultats sont bien connus dans les anneaux munis d'une action de groupes algèbriques.