• Langue : Français
• Discipline : Mathématiques
• Identifiant : Inconnu
• Type de thèse : Doctorat
• Date de soutenance : 01/01/1999

Résumé en langue originale

On s'intéresse à la conjecture suivante de Clemens : sur une hypersurface quintique générique de P4, l'espace des courbes irréductibles rationnelles lisses de degré d est fini, non vide et réduit. Nous nous proposons ici de démontrer le cas d=10, les cas des degrés 1 à 9 ayant successivement été prouvés par Katz, Nijsse et Jonhsen et Kleiman. Après avoir remarqué que pour résoudre ce problème, il suffit de majorer pour toute courbe C rationnelle lisse de degré 10 la quantité h1(ic(5)), suivant le type de scindage de la restriction à C du fibré cotangent de P4, nous pouvons décomposer le problème en trois séries de cas : - il existe tout d'abord trois types de scindage (correspondant à une courbe C non dégénérée) pour lesquels l'étude effectuée par Gruson, Lazarsfeld et Peskine sur l'indice de régularité des courbes de Pr s'étend. Pour ces cas, nous montrons donc que la quantité h1(ic(5)) est infèrieure ou égale à deux. - pour les autres types de scindage correspondant à une courbe c non dégénérée, nous montrons que C est contenue dans une surface réglée rationnelle (notée R) de P4, de degré 3,4 ou 5. Nous montrons alors que pour majorer h1(ic(5)), il nous suffit d'étudier la régularité de cette surface. Pour cela nous étendons le résultat de Lazarsfeld sur la régularité des surfaces lisses. - pour les cas ou la courbe C est dégénérée, nous montrons que si h1(ic(5)) est trop grand, alors C est contenue dans deux surfaces quartiques distinctes de P3. Nous montrons alors que cette courbe ne peut se trouver sur une hypersurface quintique lisse de P4. La conjecture de Clemens, qui se trouve de ce fait démontrée pour d=10.