• Langue : Français
• Discipline : Mathématiques
• Identifiant : Inconnu
• Type de thèse : Doctorat
• Date de soutenance : 01/01/2002

Résumé en langue originale

Nous étudions les propriétés homotopiques et dynamiques d'une version relative (due à Fadell et Husseini) de la catégorie de Lusternik-Schnirelmann, version qui peut être utilisée pour estimer le nombre de points critiques de certaines fonctions définies sur des variétés à bords. La première partie est consacrée à un rappel des définitions et de quelques résultats classiques sur la catégorie relative, ainsi qu'à l'adaptation au cadre relatif de résultats du cadre absolu. Puis, nous étudions la catégorie relative des paires d'indice de Conley. Nous montrons en particulier qu'un ensemble invariant isolé S pour un flot phi défini sur une variété possède un voisinage à l'intérieur duquel la catégorie de ses paires d'indice est constante, maximale, de valeur notée cat(S,phi). Si de plus phi est presque gradient au voisinage de S, S contient au moins cat(S,phi) orbites stationnaires. Enfin, nous étudions les invariants homotopiques des paires (X x Dn+1, X x Sn). En utilisant la construction classifiante de Dold-Lashof, nous obtenons une nouvelle description des fibrations de Ganéa servant à calculer ces invariants. On en déduit les égalités inv(X x Dn+1, X x Sn)=inv(X)+1 pour inv l'invariant e de Toomer et la sigma catégorie de Vandembroucq. Puis, en collaboration avec Vandembroucq, nous montrons que cat(X x Dn+1, X x Sn) = Qn+1cat(X)+1 où Qpcat est un invariant défini par Scheerer, Stanley et Tanré. En corollaire de ce résultat, nous obtenons entre autre que toute fonction quadratique à l'infini au dessus d'une variété fermée M possède au moins Qcat(M)+1 points critiques. Combinée avec un résultat de Laudenbach et Sikorav, cette inégalité donne une nouvelle borne homotopique pour le problème des intersections lagrangiennes dans un fibré cotangent : si psi est un difféomorphisme hamiltonien à support compact de T*M, alors M et psi(M) se coupent en au moins Qcat(M)+1 points.