• Langue : Français
• Discipline : Mathématiques appliquées
• Identifiant : Inconnu
• Type de mémoire : Habilitation à diriger des recherches
• Date de soutenance : 24/11/2017

Résumé en langue originale

Les recherches présentées dans cette HDR portent sur des questions aussi bien théoriques (recherche d’inégalités d’entropie, existence de solutions, limites de paramètres) que numériques (construction de conditions aux limites adaptées, dérivation, convergence et comportement asymptotique de schémas numériques). Dans un premier chapitre le modèle de Navier-Stokes quantique est étudié. Pour celui-ci des résultats d’existence de solutions et de limites de paramètres sont obtenus en utilisant différentes techniques telles que l’ajout d’un terme de pression froide dans les équations, l’utilisation de solutions re-normalisées en vitesse, des inégalités d’entropie relative… Le second chapitre est consacré au modèle de corrosion DPCM, modèle de dérive-diffusion dont l’originalité vient des conditions aux limites de type Robin-Fourier induisant un couplage fort. Pour ce modèle on commence par présenter un résultat d’existence de solutions. On fait ensuite l’étude (convergence, comportement asymptotique) d’un schéma volumes finis en espace et Euler implicite en temps. Dans un troisième chapitre, on s’intéresse à la construction de conditions aux limites adaptées pour différents problèmes. Dans un premier temps il s’agit de construire les conditions aux limites adaptées à un modèle fluide lorsque celui-ci est vu comme la limite hydrodynamique d’un modèle cinétique pour lequel on connaît les conditions aux limites. Dans un second temps, il s’agit de construire des conditions aux limites artificielles permettant de réduire à un domaine borné des problèmes initialement posés en domaine non borné. Enfin, le dernier chapitre concerne l’équation de Gross-Pitaevskii (utilisée dans la modélisation des condensats de Bose-Einstein). En particulier, une classe d’intégrateurs exponentiels d’ordre élevé est développée et des schémas numériques permettant de préserver l’énergie sont étudiés.

Résumé traduit

The works presented here are about theoretical questions (entropy inequalities, existence of solutions, asymptotic limits) as well as numerical ones (construction of boundary conditions, development, convergence and asymptotic behavior of numerical schemes). In the first chapter, the quantum Navier-Stokes model is studied. Existence results and asymptotic limits of solutions are obtained using different methods such as the addition of a cold pressure term in the equations, the use of renormalized solutions or relative entropy inequalities... The second chapter is devoted to the corrosion DPCM model which is a drift-diffusion model whose originality lies in the boundary conditions. Indeed they are of Robin-Fourier type and induce a strong coupling between equations. For this problem we first present an existence of solutions result. We then study the convergence and the asymptotic behavior of a numerical scheme (finite volumes in space and backward Euler in time). In the third chapter, we investigate the construction of well-designed boundary conditions for different problems. In a first time, the goal is to construct boundary conditions for a fluid model obtained as the hydrodynamic limit of a kinetic equation for which the boundary conditions are known. In a second time, the question is to construct artificial boundary conditions in order to reduce to a bounded domain a problem initially set on an unbounded one. Finally, the last chapter deals with the Gross-Pitaevskii equation (used in the Bose-Einstein condensates simulations). In particular, some high order exponential integrators are developed and energy preserving numerical schemes are studied.