• Langue : Anglais
• Discipline : Mathématiques
• Identifiant : Inconnu
• Type de mémoire : Habilitation à diriger des recherches
• Date de soutenance : 16/03/2017

Résumé en langue originale

Soit k un corps algébriquement clos, soit Δ un polygone entier deux-dimensionnel et soit f un polynôme de Laurent bivarié qui est supporté sur Δ et qui est suffisamment générique. Soit C la courbe algébrique sur k définie par f. Dans ce manuscrit, nous étudions les connexions entre la géométrie birationnelle de C et la combinatoire de Δ. Le point de départ de ce sujet de recherche est un théorème de 1893 dû à Baker (amélioré en 1977 par Khovanskii) qui dit que le genre géométrique de C est égal au nombre de points entiers à l'intérieur de Δ. Quelques autres entrées au dictionnaire géométrie-combinatoire ont été ajoutées par Koelman en 1991 et par Kawaguchi en 2012. La thèse présentée rassemble un nombre de travaux de recherche récents qui sont dédiés à étendre davantage ce dictionnaire, en fournissant des interprétations combinatoires pour la gonalité, l’indice de Clifford, la dimension de Clifford, et les invariants scrollaires associés à un pinceau qui réalise la gonalité. Sous certaines restrictions sur Δ, nous fournissons également des interprétations pour le tableau de Betti canonique et pour les premiers nombres de Betti scrollaires. La dernière partie du manuscrit traite d’une notion que l’on appelle «intrinsèqualité»: étant donné les nombreuses caractéristiques combinatoires de Δ qui peuvent être prédites en considérant la géométrie abstraite de C, nous étudions dans quelle mesure il est possible de récupérer Δ complètement.

Résumé traduit

Let k be an algebraically closed field, let Δ be a two-dimensional lattice polygon and let f be a bivariate Laurent polynomial that is supported on Δ and that is sufficiently generic. Let C be the algebraic curve over k that is defined by f. In this manuscript we study connections between the birational geometry of C and the combinatorics of Δ. The starting point of this research topic is a theorem from 1893 due to Baker (improved in 1977 by Khovanskii) which states that the geometric genus of C equals the number of lattice points in the interior of Δ. Some other entries to the geometry-combinatorics dictionary were added by Koelman in 1991, and by Kawaguchi in 2012. The presented thesis gathers a number of recent research papers that are devoted to extending the dictionary further, by providing combinatorial interpretations for the gonality, the Clifford index, the Clifford dimension, and the scrollar invariants associated to a gonality pencil. Under certain restrictions on Δ we also give combinatorial interpretations for the canonical graded Betti table and for the first scrollar Betti numbers. The last part of the manuscript deals with a notion called “intrinsicness”: given the many combinatorial features of Δ that can be told from the abstract geometry of C, we study to which extent it is possible to recover all of Δ.