• Langue : Français
• Discipline : Mathématiques
• Identifiant : Inconnu
• Type de mémoire : Habilitation à diriger des recherches
• Date de soutenance : 16/12/2016

Résumé en langue originale

Mes thèmes de ces dernières années sont nés du hasard des rencontres, lors des colloques, des discussions entre collègues… En choisissant de m'étendre sur trois sujets très différents, j'essaierai de rendre un peu de la variété de ces «balades aléatoires». Dans un premier temps, nous allons déterminer les vitesses optimales d'estimation des lois des mélanges finis, corrigeant les vitesses erronées de la littérature dans le cas minimax. Nous obtenons du $n^{-1/(4d-2)}$ pour les mélanges à au plus $d$ composantes, ce qui converge bien vers les vitesses non paramétriques du cas à nombre infini de composantes. Cependant, les vitesses point par point sont en $n^{-1/2}$. Ceci s'explique par le fait que ce régime asymptotique est atteint très tard quand des composantes sont proches. Puis nous essaierons d'utiliser la théorie de l'acquisition compressée (compressed sensing) sous des contraintes physiques : la théorie de base part du principe que les points d'acquisition sont aléatoires indépendants les uns des autres. En IRM, par exemple, ils doivent suivre une courbe avec des contraintes de continuité, de vitesse et d'accélération. Certains algorithmes sont développés pour projeter une telle courbe sur une mesure cible. Enfin nous nous intéresserons au processus de droites de Poisson impropre. Il s'agit de jeter des droites dans l'espace uniformément au hasard, de les munir d'une vitesse limite, les droites les plus lentes étant denses. Il est alors possible de relier tous les points de l'espace en un temps fini en restant sur ces «routes». Un tel «réseau routier» est invariant par changement d'échelle et isométrie, et tous les «itinéraires» passent par les mêmes routes, à part près de leurs points de départ. Cela fait de ce réseau un SIRSN (scale-invariant random spatial network) au sens d'Aldous, en toute dimension. C'est le premier exemple naturel de cette structure.

Résumé traduit

My work after the thesis stems from chance encounters, at seminars or talks between colleagues… I will dwell on three very different topics, to suggest how diverse these « random strolls » have been. First, we determine the optimal estimation rates of the mixing law of a finite mixture. We thus correct the erroneous rates in the litterature in the minimax setting. We get a $n^{-1/(4d-2)}$ rate for mixtures with at most $d$ components. Such a result makes the non-parametric estimation rates of inifinite mixtures look natural. On the other hand, there are estimators with a pointwise rate of $n^{-1/2}$ everywhere. The reason for this apparent discrepancy is that the asymptotic regime is hit very late when two components are close. Then, we try to adapt compressed sensing theory to physical constraints : base theory requires independent acquistion points. In MRI, for example, the points are acquired along a curve, with speed and acceleration constraints. We then develop algorithms to project such a curve on a space of measures. Finally, we look into the improper Poisson line process. It means throwing lines at random in space, marking them with a speed, with slower lines being dense in the space. We may then travel between any pair of points in the space in finite time along these « roads ». Such a « road network » is invariant under scaling and rigid motion, and the « routes » all use the same roads, except near their endpoints. This makes this network a SIRSN (scale-invariant random spatial network) in the sense of Aldous, in any dimension. This is the first natural example of this structure.