• Langue : Français
• Discipline : Mathématiques
• Identifiant : Inconnu
• Type de mémoire : Habilitation à diriger des recherches
• Date de soutenance : 18/11/2016

Résumé en langue originale

Les travaux que nous présentons s'articulent autour de trois thèmes : les actions propres sur les espaces homogènes, les représentations d'Anosov de groupes hyperboliques dans des groupes de Lie et le spectre discret du laplacien sur les espaces localement symétriques pseudo-riemanniens. Ils sont issus de collaborations avec J. Danciger, F. Guéritaud, O. Guichard, T. Kobayashi, A. Wienhard et M. Wolff. Deux familles importantes d'espaces homogènes que nous considérons sont les espaces hyperboliques pseudo-riemanniens H^{p,q} et les groupes de Lie simples G vus comme espaces homogènes de GxG pour l'action par multiplication à droite et à gauche. A l'intersection de ces deux familles se trouve l'espace anti-de Sitter de dimension trois, AdS^3, correspondant à p=q+1=2 et à G=PO(2,1)_0. Le chapitre 1 introduit la notion d'action fortement propre sur un espace homogène, qui renforce et permet de quantifier la notion d'action propre. Le chapitre 2 est consacré aux actions propres sur AdS^3, et plus généralement sur PO(n,1) par multiplication à droite et à gauche ; il repose sur une étude fine des applications lipschitziennes équivariantes de l'espace hyperbolique réel dans lui-même. Les chapitres 3 et 4 concernent les actions propres sur R^n par transformations affines ou, de manière équivalente, les pavages affines de R^n par des briques non nécessairement compactes. Le chapitre 3 développe l'idée que les variétés quotients de R^3 par des groupes libres (espaces-temps de Margulis) sont des « version infinitésimales », et même des « limites », de variétés anti-de Sitter qui dégénèrent ; ce point de vue mène à une description de la topologie et de la géométrie de ces variétés. Au chapitre 4 nous construisons de nouveaux exemples d'actions affines propres en dimension supérieure, par des groupes qui ne sont ni virtuellement libres, ni virtuellement résolubles. Le chapitre 5 est consacré aux représentations d'Anosov de groupes hyperboliques dans des groupes de Lie réductifs réels : il en présente diverses caractérisations, ainsi qu'une nouvelle construction d'actions propres sur des espaces homogènes et des compactifications des variétés quotients correspondantes. Enfin, au chapitre 6 nous étudions le spectre du laplacien sur les espaces localement symétriques pseudo-riemanniens et montrons que dans de nombreux cas le spectre discret contient une partie infinie qui est stable par petites déformations.

Résumé traduit

We present work around three main themes: properly discontinuous actions on homogeneous spaces, Anosov representations of word hyperbolic groups into Lie groups, and the discrete spectrum of the Laplacian on pseudo-Riemannian locally symmetric spaces. The results are based on collaborations with J. Danciger, F. Guéritaud, O. Guichard, T. Kobayashi, A. Wienhard, and M. Wolff. Two recurring families of homogeneous spaces that we consider are the pseudo-Riemannian hyperbolic spaces H^{p,q} and the simple Lie groups G seen as homogeneous spaces of GxG for the action by right and left multiplication. At the intersection of these two families lies anti-de Sitter 3-space, AdS^3, corresponding to p=q+1=2 and to G=PO(2,1)_0. Chapter 1 introduces the notion of strongly properly discontinuous (or « sharp ») action on a homogeneous space, which reinforces and allows us to quantify the notion of properly discontinuous action. Chapter 2 is devoted to properly discontinuous actions on AdS^3, and more generally on PO(n,1) by right and left multiplication; it relies on a detailed study of equivariant Lipschitz maps from the real hyperbolic space into itself. Chapters 3 and 4 concern properly discontinuous actions on R^n by affine transformations, or equivalently affine tilings of R^n. Chapter 3 develops the idea that quotient manifolds of R^3 by free groups (Margulis spacetimes) are « infinitesimal versions », and even « limits », of degenerating anti-de Sitter 3-manifolds; this point of view enables us to describe the topology and geometry of these manifolds. In Chapter 4, we construct new examples of properly discontinuous affine actions in higher dimension, by groups that are neither virtually free nor virtually solvable. Chapter 5 is devoted to Anosov representations of word hyperbolic groups into real reductive Lie groups: we present various characterizations of these representations, as well as a new construction of properly discontinuous actions on homogeneous spaces and compactifications of the corresponding quotient manifolds. Finally, in Chapter 6 we investigate the spectrum of the Laplacian on pseudo-Riemannian locally symmetric spaces, and show that in many cases the discrete spectrum contains an infinite subset which is stable under any small deformation.