• Langue : Français
• Discipline : Sciences mathématiques
• Identifiant : Inconnu
• Type de mémoire : Habilitation à diriger des recherches
• Date de soutenance : 01/01/2008

Résumé en langue originale

-- problème du sous-espace et du fermé invariant : étant donnés un espace de Banach séparable X et un opérateur linéaire borné T sur X, il s'agit de déterminer s'il existe toujours un sous-espace fermé M de X (respectivement un fermé F de X) qui soit distinct de 0 et X et invariant par T. La réponse est négative pour certains espaces de Banach X (Enflo et Read), et en particulier pour X=I_1 et X=c_O (Read). Mais la question est toujours ouverte dans le cas où X est un espace de Banach réflexif, en particulier lorsque X est un espace de Hilbert. On construit un exemple d'opérateur sur un espace de Hilbert dont l'ensemble des vecteurs hypercycliques est très gros (son complémentaire est une réunion dénombrable de sous-ensembles d'hyperplans fermés). Des méthodes "à la Read" permettent également de résoudre certaines questions concernant les multiplicités de certaines sommes directes d'opérateurs. La thématique générale des travaux présentés est l'étude des opérateurs linéaires bornés sur les espaces de Banach du point de vue de la dynamique linéaire. Si X est un espace de Banach séparable de dimension infinie et T est un opérateur linéaire borné sur X, on étudie (X,T) comme un système dynamique linéaire, et on s'intéresse au comportement des orbites de l'opérateur, en particulier au cas où certaines de ces orbites sont denses dans X. On dit alors que l'opérateur T est hypercyclique. Les travaux présentés concernent les aspects suivants : -- théorie ergodique de tels systèmes dynamiques: existence d'une mesure gaussienne non-dégénérée invariante par rapport à laquelle T définit une transformation faiblement/fortement mélangeante, etc. ; étude du spectre ponctuel unimodulaire des opérateurs à puissances partiellement bornées; hypercyclicité fréquente. -- approximation complexe : lorsque l'opérateur T est un opérateur de l'analyse classique agissant sur un espace de fonctions, les questions d'hypercyclicité sont intimement liées à des questions d'approximation complexe. Par exemple: caractérisation de l'hypercyclicité des suites d'opérateurs de composition agissant sur la boule unité fermée de certains espaces de fonctions holomorphes; étude de la Faber-hypercyclicité ; étude de la cyclicité de l'opérateur de décalage sur des espaces pondérées de suites sur Z, ceci par des méthodes de théorie des fonctions.