• Langue : Français
• Discipline : Sciences mathématiques
• Identifiant : Inconnu
• Type de mémoire : Habilitation à diriger des recherches
• Date de soutenance : 01/01/2008

Résumé en langue originale

Dans cette thèse, nous introduisons la fibre de Milnor analytique, un modèle non-archimédien pour la fibration de Milnor classique associée au germe (f,x) d’une fonction algébrique complexe f dans un point fermé x de sa fibre spéciale Xs. La fibre de Milnor est une variété analytique non-archimédienne sur le corps C((t)) des séries de Laurent complexes, et ses propriétés géométriques et arithmétiques reflètent la nature de la singularité. Nous développons un formalisme qui associe des invariants motiviques aux schémas formels sur un anneau de valuation discrète complet R, et aux variétés rigides sur le corps des fractions K de R. Les motivations principales pour ce projet étaient les applications aux fonctions zêta motiviques et la conjecture de monodromie. La conjecture de monodromie d’Igusa-Denef-Loeser prédit que pour tout pôle α de la fonction zêta motivique de f en x, il existe un point fermé y sur Xs tel que exp(2πiα) est une valeur propre de la monodromie de f en y. Nous montrons que la fonction zêta motivique de (f,x) se réalise comme une transformée de Mellin de l’intégrale motivique d’une forme de Gelfand-Leray sur la fibre de Milnor analytique Fx. Comme la cohomologie l-adique de Fx, avec son action Galoisienne, correspond à la cohomologie singulière de la fibre de Milnor topologique, avec sa transformation de monodromie, cette interprétation établit un lien direct entre la fonction zêta motivique et la monodromie. D’un autre point de vue, la fonction zêta motivique apparaît dans nos travaux comme une série génératrice à la Weil, qui mesure l’ensemble de points rationnels de Fx sur les extensions finies de C((t)). Nous montrons qu’elle admet une interprétation cohomologique par une formule des traces. Cette formule des traces est un cas particulier d’une théorie beaucoup plus générale, qui donne une mesure cohomologique pour l’ensemble des points rationnels sur les K-variétés algébriques et rigides. Cette théorie est liée aux modèles de Néron, à la ramification sauvage, et aux problèmes d’existence de points rationnels. La fibre de Milnor analytique Fx possède plusieurs autres invariants qui admettent une interprétation naturelle en théorie des singularités. Nous montrons que, si on considère Fx comme un espace analytique de Berkovich sur C((t)), sa cohomologie singulière est naturellement isomorphe à la partie de poids zéro de la cohomologie singulière de la fibre de Milnor analytique de f en x. Le point clé de la preuve est une description du type d’homotopie de Fx en termes d’un modèle semi-stable du germe (f,x).