• Langue : Français
• Discipline : Sciences mathématiques
• Identifiant : Inconnu
• Type de mémoire : Habilitation à diriger des recherches
• Date de soutenance : 01/01/2008

Résumé en langue originale

Les travaux présentés dans mon document de synthèse et lors de la soutenance relèvent de la statistique des processus, selon deux modèles d'observations distincts (observations sur la droite réelle ou sur Z, séries chronologiques, ou observations sur la sphère, éventuellement discrétisée) et selon des angles d'attaque plus théorique (théorèmes limites) ou plus appliqué (méthodologie, comparaisons de méthodes concurrentes par simulations numériques). Dans tous les cas, les outils sont l'analyse de Fourier on en ondelettes. D'une part nous avons contribué au développement de la théorie des processus fortement dépendants dans les domaines de la modélisation, des outils d'analyse, de la décision, et de l'estimation. Plus précisément, nous avons étudié les propriétés de longue mémoire de processus non-linéaire de type « shot-noise » utilisés pour modéliser le télétrafic. Nous avons développé une théorie asymptotique pour les coefficients de Fourier de processus linéaires (permettant l'estimation de moments arbitraires des ces coefficients) et étudié les comportements d'échelles de la variance des coefficients d'ondelettes pour un processus de télétrafic (à infinité de sources poissonniennes). Un test d'adéquation aux modèles à longue mémoire, construit sur une fonctionnelle non-linéaire du périodogramme, est proposé et étudié théoriquement et numériquement. Nos résultats sur les outils d'analyse s'appliquent en outre à l'estimation du paramètre de longue mémoire dans un contexte semi-paramétrique. Différents résultats de convergence, de vitesse, et d'optimalité au sens minimax sont établis. Un article de synthèse compare les estimateurs de Fourier et d'ondelettes dans ce cadre semi-paramétrique. Il est accompagné d'une boite à outil logicielle. D'autre part, nous avons étudié quelques problèmes statistiques pour des processus stationnaires sur la sphère. La motivation applicative de ces recherche est l'étude statistique du fonds diffus cosmologique (CMB, pour Cosmic microwave background). Notre travail ici est d'ordre méthodologique et pratique. Nous avons conçu des ondelettes d'analyse optimisées pour nos besoins en adaptant la construction des repères de needlets puis avons utilisé ces objets pour deux applications distinctes. D'abord, nous avons défini un nouvel estimateur du spectre de puissance angulaire du CMB, qui tire profit de la localisation temps-fréquence des ondelettes pour estimer ce spectre de façon adaptée au niveau de nruit local, dans le cas d'observations avec données manquantes et bruit additif hétéroscedastique. L'aspect numérique est ici très important (l'estimateur est explicite et calculable en temps raisonnable). D'autre part, nous avons utilisé des combinaisons « optimales » de ces coefficients pour construire une carte de CMB plein ciel, nettoyée en partie des avant-plans galactiques. Des codes sont disponibles pour ces constructions d'ondelettes sur la sphère et leurs applications.