• Langue : Français
• Discipline : Mathématiques
• Identifiant : Inconnu
• Type de mémoire : Habilitation à diriger des recherches
• Date de soutenance : 01/01/2012

Résumé en langue originale

La géométrie systolique consiste en l'étude d'inégalités universelles sur les variétés riemanniennes entre le volume et la longueur de certaines courbes fermées. Ces inégalités sont universelles dans le sens où elles sont valables pour tout choix de métrique, et traduisent ainsi des propriétés topologiques de la variété sous-jacente. Les longueurs de courbes considérées sont généralement obtenues par un procédé de minimisation ou de minimax, et capturent la géométrie globale de la variété riemannienne étudiée. Dans cette habilitation à diriger les recherches, nous présentons trois directions d'investigation en géométrie systolique. La première traite des surfaces compactes sans bord. Nous en analysons la géométrie systolique globale pour trois types de longueur de courbes : la diastole, la constante de Bers et la longueur maximale d'une famille de courbes courtes homologiquement indépendantes. Dans une seconde partie, nous concentrons notre étude sur la géométrie systolique locale. Nous traitons tout d'abord le cas de la sphère de dimension deux, et les propriétés systoliques de celle-ci pour deux métriques particulières, à savoir la métrique ronde et une métrique plate singulière conjecturée optimale pour le problème isosystolique. Ensuite, nous élargissons le cadre d'étude à la géometrie de contact nous permettant ainsi d'analyser les propriétés systoliques locales des métriques Finsler dite de Zoll. Enfin, dans la dernière partie, nous portons notre attention sur l'invariant topologique constitué par la constante optimale apparaissant dans les inégalités isosystoliques des variétés essentielles. Nous étudions sa sensibilité aux propriétés topologiques de la variété sous-jacente, ainsi que sa distribution sur la droite réelle.