• Langue : Français
• Discipline : Mathématiques appliquées
• Identifiant : Inconnu
• Type de mémoire : Habilitation à diriger des recherches
• Date de soutenance : 01/01/2012

Résumé en langue originale

Alors que la plupart des questions sont résolues en homogénéisation périodique des équations elliptiques, ceci n'est pas du tout le cas de l'homogénéisation stochastique, même dans le cadre élémentaire des équations linéaires. En effet, il n'est pas connu si l'équation dite du correcteur admet des solutions stationnaires. Dans la première partie de ce document nous abordons cette question et analysons des méthodes numériques de calcul des coefficients homogénéisés. En particulier nous montrons qu'il existe des correcteurs stationnaires à partir de la dimension trois d'espace pour des coefficients à longueur de corrélation finie. Cette théorie nous a permis d'analyser et donner des estimations de convergence optimales pour des algorithmes standard de calcul des coefficients homogénéisés. Dans la seconde partie de ce manuscrit, nous nous concentrons sur des questions plus qualitatives dans le cas d'équations non linéaires et en particulier d'élasticité non linéaire. Partant d'un modèle discret de chaînes de polymères en interaction, nous obtenons un modèle continu d'élasticité non linéaire par homogénéisation quand la taille typique des chaînes tend vers zéro. La densité d'énergie du matériau obtenu satisfait les propriétés qualitatives importantes des matériaux polymériques : indifférence matérielle, isotropie, ellipticité stricte. Nous insistons également sur les aspects numériques pour le calcul de cette densité d'énergie et son utilisation pratique.