• Langue : Français
• Discipline : Sciences mathématiques
• Identifiant : Inconnu
• Type de mémoire : Habilitation à diriger des recherches
• Date de soutenance : 01/01/2009

Résumé en langue originale

Ce travail de recherche comprend trois directions d'études. La première est l'étude du problème de Riemann-Hilbert sur la sphère de Riemann et de ses applications. La seconde est l'analyse de l'asymptotique Gevrey de solutions holomorphes d'équations aux dérivées partielles. La troisième concerne l'analyse asymptotique Gevrey et q-Gevrey de solutions holomorphes d'équations fonctionnelles aux dérivées partielles ainsi que l'analyse locale de leurs singularités complexes. Le problème de Riemann-Hilbert concerne la reconstruction d'un système différentiel fuchsien à partir de sa représentation de monodromie du groupe fondamental des lacets sur la sphère de Riemann épointée. Nous proposons des conditions suffisantes pour la résolution de ce problème qui sont liées à la géométrie des fibrés vectoriels à connexions. Comme application de ce résultat, nous proposons une méthode de réduction dimensionnelle pour construire des solutions classiques des équations de Schlesinger qui jouent un role central en physique mathématique car elles permettent d'obtenir des propriétés de nature algébrique sur les solutions des célèbres équations de Painlevé. Nous étendons ensuite le problème aux systèmes différentiels à singularités irrégulières. Nous étudions des équations aux dérivées partielles linéaires à plusieures variables complexes et à coefficients constants pour la donnée de conditions initiales holomorphes. Nous considérons des problèmes de Cauchy caractéristiques dont l'équation de la chaleur est le modèle de base. Nous construisons des solutions holomorphes de ces problèmes en petit temps complexe t et étudions leur asymptotique Gevrey lorsque t tend vers 0. La méthode utilisée est basée sur le procédé de sommation à la Borel-Laplace qui connait un succés considérable dans le cadre des équations différentielles. Nous prenons ensuite un autre point de vue pour étudier des équations à coefficients non constants, celui des problèmes de Cauchy non caractéristiques à conditions initiales formelles sommables pour lesquels nous construisons des solutions sommables au sens de Borel-Laplace. Puis nous étendons nos résultats à certains problèmes de Cauchy caractéristiques possédant des singularités irrégulières et fuchsiennes.Nous considérons aussi des équations aux dérivées partielles dont les variables sont contractées ou dilatées. Lorsque les variables sont contractées, nous obtenons des résultats analogues à ceux obtenus pour les problèmes de Cauchy non caractéristiques à conditions initiales formelles sommables. En revanche, lorsque les variables sont dilatées le développement asymptotique obtenu en t=0 n'est plus de type Gevrey, mais de type q-Gevrey comme pour les équations aux q-différences. Nous considérons enfin des équations aux q-différences-différentielles à coefficients méromorphes et montrons l'existence de solutions locales holomorphes et prouvons que la croissance de celles-ci au voisinage des points singuliers est au plus sous-exponentielle.