• Langue : Français
• Discipline : Sciences mathématiques
• Identifiant : Inconnu
• Type de mémoire : Habilitation à diriger des recherches
• Date de soutenance : 01/01/2009

Résumé en langue originale

On présente un aperçu des résultats obtenus par l'auteur depuis sa thèse. On peut distinguer deux thèmes majeurs, la géométrie analytique locale et l'universalité. Le lien entre les deux ne semble pas direct, si ce n'est ici au travers des objets manipulés, les séries formelles, les séries de Dirichlet ordinaires, les séries de Taylor. La première partie est consacrée à la géométrie analytique locale. Après avoir exposé quelques résultats qui sont la suite naturelle des travaux de thèse sur les séries formelles à croissance contrôlée (ces séries apparaissent comme les jets de Taylor en 0 de fonctions ultradifférentiables), l'idée principale a été d'appliquer la géométrie analytique et ses techniques classiques, comme les théorèmes de division de Weierstrass, pour étudier l'anneau local des séries de Dirichlet convergentes. Par exemple, on prouve sa factorialité ou l'équivalence entre irréductibilité formelle et irréductibilité analytique. Le dénominateur commun entre tout ce qui précède est l'utilisation d'outils d'analyse pour résoudre des problèmes de nature algébrique. Dans le même esprit, on s'est intéressé au problème de la décomposition de polynômes positifs sur un espace de Hilbert cette fois par des méthodes issues de la théorie des opérateurs. Il s'agit du 17ème problème de Hilbert pour les polynômes dépendant d'un nombre infini de variables. L'analyse en une infinité de variables est déjà sous-jacente à l'étude précédente de l'anneau des séries de Dirichlet ; il suffit pour cela de se remémorer le point de vue de Bohr. La seconde partie est dévolue à l'universalité. Cette partie de l'analyse, qui traduit des phénomènes de passage à la limite aussi fascinants que surprenants, a pris un nouvel essor depuis une dizaine d'années avec les travaux de Nestoridis. On considère une suite d'applications entre deux espaces métriques X et Y. Un élément x de X est dit universel si la suite de ses images est dense dans Y. On s'intéresse en particulier à la suite d'applications données par les sommes partielles. On exhibe alors des séries de Dirichlet universelles, on étudie par exemple quelques propriétés de leurs coefficients ou alors on montre que la fonction zeta de Riemann devient universelle sous l'effet de transformations matricielles bien construites. Un lien est fait aussi avec la théorie de l'hypercyclicité et de l'hypercyclicité jointe. On obtient, par exemple, un nouveau critère d'hypercyclicité pour des opérateurs non bornés. On revient aux séries de Taylor et aux espaces ultradifférentiables en mettant en évidence des fonctions universelles dans ces ensembles.