• Langue : Français
• Discipline : Mathématiques
• Identifiant : Inconnu
• Type de mémoire : Habilitation à diriger des recherches
• Date de soutenance : 01/01/2004

Résumé en langue originale

Le second chapitre porte sur des généralisations de méthodes itératives lorsqùe les données sont réorganisées en II. Les nouveaux schémas introduits reposent sur une généralisation de la notion de relaxation; nous les appliquons à la résolution de problèmes stationnaires, comme le calcul de solutions instables et bifurquées de problèmes aux valeurs propres non-linéaires mais aussi à celle de problèmes évolutifs tels que les équations de Burgers en dimensions 1 et 2. Dans le troisième chapitre composant la seconde partie de ce mémoire, nous proposons de générer de nouvelles méthodes en algèbre linéaire numérique. Le problème à résoudre est identifié à un état d'un système dynamique (ce peut être aussi bien un état atteint en temps fini qu'un état stationnaire), ce qui constitue une modélisation en amont du problème. Les schémas numériques sont alors construits par intégration explicite en temps. Avec cette approche nous abordons notamment la construction de préconditionneurs inverses creux, la résolution de systèmes linéaires ou non. Des résultats de stabilité et de convergence sont obtenus pour les nouvelles méthodes. Les travaux dé recherche présentés dans ce mémoire portent sur un ensemble de méthodes dédiées à la résolution numérique de problèmes elliptiques et paraboliques intervenant en mécanique des fluides. Trois thèmes sont abordés, ils se regroupent autour de deux parties. Dans la première partie, composée de deux chapitres, est présenté un ensemble d'outils numériques en vue d'appliquer les idées contenues dans les méthodes de Galerkin non-linéaire à d'autres contextes que la simulation de systèmes dynamiques dissipatifs. On s'appuie sur le concept d'inconnues incrémentales (II) pour réorganiser les données en blocs de composantes d'ordre de grandeur différents et propose de traiter numériquement chacun de ces tableaux par un schéma approprié. Le premier chapitre traite de la construction de préconditionneurs hiérarchiques en différences finies au moyen d'inconnues incrémentales. On s'intéresse à leurs propriétés de préconditionnement de matrices issues de la discrétisation d'opérateurs elliptiques ainsi qu'à leurs propriétés de compression des données. On introduit un cadre général dans lequel la résolution de problèmes de Stokes généralisé et de convection-diffusion, sur des grilles régulières ou non, sont abordés.