• Langue : Français
• Discipline : Sciences mathématiques
• Identifiant : Inconnu
• Type de mémoire : Habilitation à diriger des recherches
• Date de soutenance : 01/01/2006

Résumé en langue originale

Après ma thèse, j'ai étudié notamment le théorème de connectivité de Nori. Ce résultat est un théorème du type de Lefschetz pour la cohoinologie de la famille universelle des intersections· complètes dans une variété projective. L'énoncé original de Nori est un résultat asymptotique, valable pour des intersections complètes de multidegré suffisamment élevé. J'ai obtenu une version effective de ce théorème. L'étude de l'optimalité des bornes m'a amené naturellement à regarder des fibrés en quadriques. En effet, la plupart des exemples en bas degré sont des intersections complètes de quadriques. L'une des questions évoquées par Nori est de savoir s'il est possible d'obtenir le théorème de connectivité par des méthodes topologiques (monodromie, étude de la cohomologie à valeurs dans un système local) et des arguments de poids issus de la théorie de Hodge mixte. Une telle approche permettrait d'obtenir un analogue du théorème de Nori pour la cohomologie I-adique. Ceci mène à une étude de la dégénérescence de la suite spectrale de Leray. En général on a peu d'espoir de pouvoir mener à bien cette étude, mais si on réduit la taille de la base on peut obtenir des résultats partiels. Pour des fibrés en quadriques, on étudie la suite spectrale de Leray à l'aide de la stratification naturelle de la base définie par le corang des quadriques et la théorie de Hodge mixte. Ceci nous permet de redémontrer d'une façon systématique des résultats classiques obtenus par Beauville, Laszlo, Mukai, O'Grady et Reid. Ensuite nous étudions la cohomologie des fibrés en quadriques munis d'une involution, motivé par un exemple de Bardelli. Nous discutons aussi des applications géométriques concernant l'image de l'application d'Abel-Jacobi et l'application régulateur.