• Langue : Français
• Discipline : Sciences mathématiques
• Identifiant : Inconnu
• Type de mémoire : Habilitation à diriger des recherches
• Date de soutenance : 01/01/2006

Résumé en langue originale

La première partie de ce travail de recherche concerne les méthodes d'extrapolation. Un nouveau formalisme pour présenter et déduire les méthodes d'extrapolation a été développé. Cette nouvelle approche fournit une méthode de construction systématique des algorithmes d'extrapolation et permet de mieux comprendre son mécanisme. Elle permet aussi de construire une transformation basée sur des opérateurs aux différences qui accélère la convergence d'une classe de suites donnée par son développement asymptotique. Dans la deuxième partie, je me suis intéressée à l'approximation d'une fonction pour laquelle on connaît le développement en série de fonctions (ou les premiers termes de ce développement), par des suites d'approximants rationnels et des généralisations. J'ai étudié deux grandes classes d'approximants: les approximants de type Cauchy (généralisation des approximants de type-Padé qui correspond à choisir comme dénominateur une fonction analytique), et les approximants de type-Padé généralisés (qui correspondent à remplacer la fonction génératrice par un polynôme vérifiant certaines propriétés d'interpolation. Nous avons obtenu des propriétés de convergence et d'accélération pour des suites de ces approximants à partir de propriétés de la suite des coefficients (suite lacunaire, périodico-linéaire, ... ) et de propriétés sur la fonction (fonctions de Markov-Stieltjes, de Stieltjes généralisées). Nous avons défini une autre classe d'approximants - les approximants de type Padé en moindres carrés, basés sur les polynômes orthogonaux en moindres carrés. Le but est d'augmenter les propriétés de stabilité numérique des approximants qui sont très sensibles à des petites perturbations des coefficients. Basés sur ces approximants nous avons proposé de nouvelles formule.s de quadrature de Gauss. De nouveaux approximants rationnels - les approximants de Frobenius-Padé - pour des fonctions définies par des séries de polynômes orthogonaux ont été définis et généralisés au cas de fonctions vectorielles et de fonctions à plusieurs variables. Des algorithmes récursifs pour le calcul de certaines suites de ces approximants ont été développés. Nous avons montré que pour certaines classes de fonctions la matrice du système à résoudre pour le calcul des coefficients du dénominateur de l'approximant avait une structure, ce qui permet de développer des algorithmes rapides pour le calcul de ces coefficients. Quelques résultats de convergence et d'accélération de convergence ont été obtenus. Des résultats numériques très prometteurs ont été présentés.