• Langue : Français
• Discipline : Mathématiques et leurs interactions
• Identifiant : 2025ULILB011
• Type de thèse : Doctorat
• Date de soutenance : 10/06/2025

Résumé en langue originale

L'objectif de ce travail est l'utilisation et l'enrichissement de la méthode dite de Nourdin-Peccati, qui permet d'estimer des distances entre mesures de probabilités à l'aide du calcul deMalliavin et de la méthode de Stein.D'abord, nous étudions via cette méthode des fonctionnelles liées à des solutions d'équations auxdérivées partielles stochastiques. Le premier travail dans cette direction est l'étude du temps de séjourspatial de l'équation des ondes stochastique additive unidimensionnelle, avec dépendance polynomialeentre le temps et la fenêtre d'observation. Nous établissons des Théorèmes Centraux Limites lorsque letemps d'observation est petit par rapport à la fenêtre, et observons un phénomène de saturation pourdes temps grands, en établissant un Théorème Limite vers une loi de Rademacher. Le deuxièmetravail dans cette direction est l'étude des variations quadratiques de la solution de l'équation desondes multiplicative. Ces variations quadratiques ont déjà été étudiées pour d'autres équations, oùon observe une convergence au moins en probabilité. Nous montrons que les variations quadratiquesconvergent en probabilité. Cette convergence permet de construire un estimateur pour le paramètrede diffusion de cette équation.Dans un deuxième temps, nous enrichissons la méthode. Suivant une idée de Pimentel, nousdéveloppons une méthode de Stein pour l'étude d'un couple de variables aléatoires, dont on comparesa loi à celle du même couple, mais supposé indépendant. Nous détaillons des bornes de Stein dansle cas où l'une des composantes est une variable gaussienne, ou un vecteur gaussien, ou une variablesuivant une loi Gamma. Nous appliquons cette théorie à l'étude de l'indépendance asymptotique entrela moyenne spatiale de solutions de certaines ÉDPS et une évaluation de la solution, lorsque le domaineoù on effectue la moyenne remplit tout l'espace.

Résumé traduit

The goal of this work is about using and extending the so-called Nourdin-Peccati method, allo-wing to estimate distances between probability measures, by using the Malliavin calculus and Stein'smethod.First, we study thanks to this method some functionals linked to some solutions of stochasticpartial differential equations. The first work in this direction is the study of the spatial sojourn time ofthe additive one-dimensional stochastic wave equation, with polynomial dependence between the timeand the window observation. We establish some Central Limit Theorems when the time of observationis small with respect to the window and we observe a saturation phenomenon for big times, by provinga Limit Theorem toward a Rademacher law. The second work in this direction is the study of quadraticvariations of the solution of the multiplicative stochastic wave equation. Those quadratic variationswere studied for other equations in the past, where each time, a convergence, at least in probability,were proved. We show here that the quadratic variations converges in probability, leading to theconstruction of an estimator of the diffusion parameter of this equation.In the second part, we enriches this method. Following an idea from Pimentel, we expand a Steinmethod for the study of couple of random variables, from which we compare its law with the law of thesame couple but supposed independent. We exhibit some Stein bounds in the case where one of thecomponents is a Gaussian variable, or a Gaussian vector, or a variable following a Gamma distribution.We apply this theory to the study of asymptotic independence between the spatial average of thesolution of some SPDEs and an evaluation of the solution, where the doamin where we compute theaverage is covering the whole space.