• Langue : Anglais
• Discipline : Mathématiques et leurs interactions
• Identifiant : 2025ULILB008
• Type de thèse : Doctorat
• Date de soutenance : 03/05/2025

Résumé en langue originale

L'équation du pantographe est une équation différentielle fonctionnelle, également connue sous le nom d'équation différentielle aux q-différences, qui décrit le problèmedu mouvement des ondes d'une ligne d'alimentation aérienne dans un système ferroviaire électrifié. En raison de sa large application dans la vie réelle, il est impératif d'étudier les propriétés des solutions. Dans cette thèse, nous étudions l'existence, l'unicité, les formes analytiques et asymptotiques des solutions. Tout d'abord, les solutions en séries de Laurent à zéro et à l'infini sont étudiées lorsque le terme non homogène est la série de Laurent à zéro et à l'infini, respectivement. Deuxièmement, l'équation du pantographe non homogène est analysée du point de vue du théorème de l'indice de l'opérateur. De plus, lorsque le terme non homogène est une fraction de singularité à zéro, les solutions exprimées par les séries à zéro et à l'infini de l'équation simplifiée sont étudiées. L'existence et l'unicité des solutions sont analysées. La formule de connexion entre les solutions à zéro et à l'infini est établie. La forme asymptotique de la solution à zéro est obtenue à l'aide de la formule de connexion. Enfin, lorsque le terme non homogène est une fraction de singularité à une constante non nulle, les solutions correspondantes en séries de puissance à zéro et à l'infini sont analysées, respectivement. Selon l'idée de perturbation de l'équation, la solution en termes de fonction de somme intégrale est étudiée et ses propriétés asymptotiques sont analysées. Selon l'unicité de la solution de l'équation avec des conditions de valeur initiale, la formule de relation entre les solutions à zéro et la solution de la fonction à somme intégrale est établie, puis la forme asymptotique des solutions à zéro est étudiée.

Résumé traduit

The pantograph equation is a functional differential equation, also known as differential q-difference equations, which describes the wave motion problem of an overhead supply line in an electrified railway system. Because of its wide application in real life, it is imperative to study the properties of solutions. In this thesis, we study the existence,uniqueness, analytic, and asymptotic forms of solutions. Firstly, the Laurent series solutions at zero and infinity are studied when the non-homogeneous term is a Laurent series at zero and infinity, respectively. Secondly, the non-homogeneous pantograph equation is analyzed from the perspective of the operator index theorem. Further, when the non-homogeneous term is a fraction with a singularity at zero, solutions expressed by series at zero and infinity of the simplified equation are studied. The existence and uniqueness of the solutions are analyzed. The connection formula between solutions at zero and infinity is established. The asymptotic form of the solution at zero is obtained using the connection formula. Finally, when the non-homogeneous term is a fraction with singularity at a nonzero constant, the simplified equation after polynomial transformation is considered. The corresponding solutions as power series at zero and infinity are analyzed, respectively. According to the equation's perturbation, the solution in terms of integral-sum function is studied, and its asymptotic properties are analyzed. According to the uniqueness of the solution of the equation with initial value conditions, the relationship formula between solutions at zero and the integral-sum function solution is established. Then, the asymptotic form of solutions at zero is studied.