Note ABES Espaces modèles, ensembles spectraux et inégalités de type Schwarz-Pick Model spaces, spectral sets and Schwarz-Pick type inequalities Analyse fonctionnelle Théorie des opérateurs Analyse mathématique Analyse complexe Théorie spectrale Géométrie hyperbolique Lemme de Schwarz-Pick Functional analysis Operator theory Mathematical analysis Complex analysis Spectral theory Hyperbolic geometry Analyse fonctionnelle Théorie des opérateurs Analyse mathématique Fonctions holomorphes Théorie spectrale (mathématiques) Géométrie hyperbolique Espaces de Hilbert L'inégalité de Schwarz-Pick pour une fonction holomorphe d'une variable est un sujet classique en analyse complexe et, plus spécifiquement, en géométrie hyperbolique. Des inégalités de type Schwarz-Pick pour trois points et, ensuite, pour n points du disque unité ouvert ont été établies respectivement par Beardon et Minda, et par Baribeau, Rivard, et Wegert. L'objectif de cette thèse de doctorat est d'étudier les inégalités de type Schwarz-Pick d'un point de vue théorique des opérateurs. En utilisant l'inégalité de von Neumann pour les opérateurs sur les espaces de Hilbert et ses généralisations, les inégalités de Schwarz-Pick et de Beardon-Minda sont obtenues de manière unifiée. Le lien avec les opérateurs modèles est mis en évidence, et de nouvelles inégalités de type Schwarz-Pick en une ou plusieurs variables complexes sont établies. Nous nous concentrons également sur les versions opératoires des inégalités de type Schwarz-Pick, en suivant les travaux de Ky Fan et D. Jocic. Pour ce faire, nous discutons d'autres sujets d'intérêt, tels que le calcul fonctionnel holomorphe explicite, les différences divisées non commutatives et les critères de contractivité pour les matrices. Le manuscrit se termine par un aperçu rapide d'autres ensembles spectraux. The Schwarz-Pick inequality for holomorphic functions of one variable is a classical topic in complex analysis and, more specifically, in hyperbolic geometry. Schwarz-Pick type inequalities for three points and, subsequently, for n points in the open unit disc have been established by Beardon and Minda, and by Baribeau, Rivard, and Wegert, respectively. The aim of this PhD thesis is to study Schwarz-Pick type inequalities from an operator-theoretic perspective. By employing the von Neumann inequality for operators on Hilbert spaces and its generalizations, the Schwarz-Pick inequality and the Beardon-Minda inequality are derived in a unified manner. The connection with model operators is explored, and new Schwarz-Pick type inequalities for functions in one or several complex variables are established. The thesis also focuses on operator versions of Schwarz-Pick type inequalities, building on the work of Ky Fan and D. Jocic. To this end, we discuss related topics such as explicit holomorphic functional calculus, non-commutative divided differences, and contractivity criteria for matrices. The manuscript concludes with a brief exploration of some other spectral sets. Electronic Thesis or Dissertation Text fr en PDF 1401378 https://pepite-depot.univ-lille.fr/LIBRE/EDMADIS/2024/2024ULILB035.pdf http://www.theses.fr/2024ULILB035/abes https://theses.hal.science/tel-04936484 https://theses.hal.science/tel-04936484 https://theses.hal.science/tel-04936484 https://theses.hal.science/tel-04936484 https://theses.hal.science/tel-04936484 https://theses.hal.science/tel-04936484 Renard Axel Renard 1997-08-11 FR 283272171 https://theses.fr/2024ULILB035 2024ULILB035 https://doi.org/10.70675/7031cd13zd945z494fz9833zb2edc808a8b8 2024-11-22 Mathématiques et leurs interactions Université de Lille (2022-....) 259265152 Doctorat Docteur es non oui Badea Catalin MADS_DIRECTEUR_DE_THESE_1 061675806 Grivaux Sophie MADS_PRESIDENT_DU_JURY 08942400X Fricain Emmanuel MADS_MEMBRE_DU_JURY_1 116468602 Virtanen Jani MADS_MEMBRE_DU_JURY_2 283270640 Gorkin Pamela MADS_RAPPORTEUR_1 083187588 Charpentier Stéphane MADS_RAPPORTEUR_2 148109616 École graduée Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....) MADS_ECOLE_DOCTORALE_1 258621362 Laboratoire Paul Painlevé MADS_PARTENAIRE_DE_RECHERCHE_1 32 161603971 Université de Lille (2018-2021) MADS_PARTENAIRE_DE_RECHERCHE_2 223446556 ddc:510 Badea Catalin Grivaux Sophie Fricain Emmanuel Virtanen Jani Gorkin Pamela Charpentier Stéphane École graduée Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....) Laboratoire Paul Painlevé (Villeneuve d'Ascq (Nord)) Université de Lille (2018-2021) PDF 1401378