• Langue : Anglais
• Discipline : Mathématiques et leurs interactions
• Identifiant : 2024ULILB033
• Type de thèse : Doctorat
• Date de soutenance : 19/11/2024

Résumé en langue originale

Si l'énigmatique conjecture de Goldbach sur la décomposition des entiers comme la somme de deux nombres premiers reste encore hors de portée, des informations intéressantes autour de la question peuvent être obtenues. L'un de ces domaines est l'étude analytique des fonctions génératrices qui ont une longue histoire depuis Landau et Hardy-Littlewood. Plus près de notre époque, à l'aide d'outils plus récents développés depuis, plusieurs auteurs comme Fujii, Granville, Goldston, Languasco ou Zaccagnini ont étudié la fonction g(n) qui est le nombre de paires (p1, p2), pi premier tels que p1+p2=n pour un entier n pair: en particulier de comportement de leur sommes sur n ≤ x pour x grand.Dans cette thèse, nous avons traité deux variantes de la fonction ci-dessus.Nous avons considéré• les pi en progression arithmétique, et• la décomposition de n comme somme de plusieurs nombres premiers.Dans les deux cas, nous avons trouvé des bonnes estimations et nous avons également amélioré plusieurs résultats récents. Pour obtenir des asymptotiques, il est nécessaire d'avoir des informations sur les zéros des fonctions L de Dirichlet. Ainsi, ils sont souvent des résultats conditionnels à l'hypothèse de Riemann (géneralisée). En fait, nous avons démontré une équivalence entre l'hypothèse de Riemann et une asymptote de la représentation k-ary de Goldbach.

Résumé traduit

If the enigmatic Goldbach conjecture on the decomposition of integers as the sum of two primes remains still out of reach, interesting insights around the issue can be obtained. One of these areas is the analytical study of generating functions which have a long history since Landau and Hardy-Littlewood. Closer to our time, using more recent tools developed since then, several authors such as Fujii, Granville, Goldston, Languasco or Zaccagnini have studied the function g(n) which is the number of pairs (p1, p2), pi prime such that p1+p2=n for an even integer n: in particular the behavior of their sums on n ≤ x for large x.In this thesis, we have treated two variants of the above function.We have considered• the pi in arithmetic progression, and• the decomposition of n as a sum of several prime numbers.In both cases, we found good estimates and we also improved several recent results. To obtain asymptotics, it is necessary to have information about the zeros of the Dirichlet L-functions. Thus, they are often conditional results on the (generalized) Riemann hypothesis. In fact, we have shown an equivalence between the Riemann hypothesis and an asymptote of the k-ary Goldbach representation.