• Langue : Anglais
• Discipline : Mathématiques et leurs interactions
• Identifiant : 2023ULILB053
• Type de thèse : Doctorat
• Date de soutenance : 18/12/2023

Résumé en langue originale

Le but de cette thèse est de fournir une construction explicite d'une résolution cofibrante des opérades de Balteanu-Fiedorowicz-Schwänzl-Vogt M_n, qui régissent les catégories monoidales itérées.Dans une première partie de la thèse, nous examinons en détail la définition des structures monoïdales dans les 2-catégories, ainsi que la définition des opérades dans les 2-catégories monoïdales, en prenant la 2-catégorie des catégories comme exemple principal. Ensuite, nous démontrons que la catégorie des opérades dans la catégorie des petites catégories hérite d'une structure de modèle par transfert de la structure de modèle folk sur la catégorie des petites catégories. Nous introduisons une notion de présentation polygraphique des opérades dans la catégorie des petites catégories afin de définir des opérades en terme de générateurs et relations à la fois dans la direction opératique et dans la direction catégorique au niveau des morphismes. Nous réexaminons la définition des opérades M_n en termes de présentations polygraphiques, et nous donnons une présentation de l'opérade M_1^infinity qui fournit une résolution cofibrante de l'opérade M_1 dans la structure de modèle folk. Enfin, nous étudions une généralisation du produit tensoriel de Boardman-Vogt dans le contexte des opérades dans la catégorie des catégories. Nous utilisons cette construction pour fournir une résolution cofibrante M_n^infinity de l'opérade M_n à partir de la résolution M_1^infinity de M_1, et ainsi répondre à la question initiale de la thèse.

Résumé traduit

The goal of this thesis is to give an effective construction of a cofibrant resolution of the Balteanu-Fiedorowicz-Schwänzl-Vogt operads M_n, which govern iterated monoidal categories.In a first part of the thesis, we study thoroughly the definition of monoidal structures in 2-categories, and the definition of operads in monoidal 2-categories, with the 2-category of categories as a main motivating example. Then we prove that the category of operads in the category of small categories inherits a model structure by transfer of the folk model structure on the category of small categories. We introduce a notion of polygraphic presentation of operads in the category of small categories in order to define operads with generators and relations in both the operadic direction and the categorical direction at the morphism level. We revisit the definition of the operads M_n in terms of polygraphic presentations, and we gives a presentation of an operad M_1^infinity that provides a cofibrant resolution of the operad M_1 in the folk modelstructure. Eventually, we study a generalization of the Boardman-Vogt tensor product in the context of operads in the category of small categories. We use this construction to provide a cofibrant resolution M_n^infinity of the operad M_n from the resolution M_1^infinity of M_1, and hence, to address the initial question of the thesis.