• Langue : Français, Anglais
• Discipline : Mathématiques et leurs interactions
• Identifiant : 2023ULILB041
• Type de thèse : Doctorat
• Date de soutenance : 08/12/2023

Résumé en langue originale

Le cadre sur lequel s'érige cette thèse est assez vaste puisqu'il regroupe un large champ d'études, allant des équations stochastiques aux dérivées partielles à la théorie des matrices et tenseurs aléatoires, dont le point commun est l'analyse des p-variations de processus. L'outil majeur qui a permis son élaboration est le calcul de Malliavin combiné à la méthode de Stein.Cette thèse se dessine en trois parties distinctes dont la première évoquera l'inférence statistique des équations différentielles stochastiques. En premier lieu, elle mettra en avant l'estimation des paramètres de drift et de diffusion pour les équations des ondes et de la chaleur fractionnaire dirigées par un bruit blanc en temps et en espace, qui a la possibilité d'être non-linéaire.Plus précisément, ces travaux porteront sur une exploration minutieuse du comportement des variations quadratiques de la solution associées à ces équations.En effet, d'une part, nous établissons un théorème central limite obtenu par l'application du célèbre théorème du quatrième moment sur les variations quadratiques spatiales et temporelles de la solution de l'équation des ondes dirigée par un bruit en temps et en espace.En outre, nous nous sommes évertués à l'estimation du paramètre de drift de l'équation de la chaleur fractionnaire dirigée par un bruit gaussien non linéaire, blanc en temps et en espace. Pour ce faire, nous avons tiré profit de l'existence d'une connexion forte entre le mouvement brownien fractionnaire et la solution spatiale de l'équation de la chaleur fractionnaire dirigée par un bruit gaussien additif. Au moyen d'un critère d'approximation basé sur les accroissements de la solution linéaire, nous procédons à l'investigation autour de la convergence desvariations quadratiques spatiales de la solution dans le cas non linéaire.Par ailleurs, les deux autres chapitres constituant la thèse donneront accès à une réflexion autour de l'étude asymptotique des matrices et tenseurs de Wishart par l'utilisation de la méthode de Stein-Malliavin.Déjà largement étudiés au cours des dernières années, les auteurs ont examiné ces objets lorsque les composantes de la matrice intiale associée à la matrice de Wishart étaient gaussiennes, log-concaves ou de loi complètement générale et avec la considération supplémentaire d'une corrélation nulle, partielle ou totale. Notre contribution consistera à apporter un résultat lorsque les entrées de la matrice initiale demeurent gaussiennes mais en relâchant l'hypothèse d'équidistribution. Afin d'y parvenir nous choisissons des entrées particulières, correspondant aux accroissements temporels de la solution de l'équation stochastique des ondes. Nous traitons un cas similaire pour l'équation stochastique de la chaleur qui donnera la possibilité d'obtenir une convergence presque sûre vers une matrice diagonale.Notre souhait a ensuite été de généraliser les résultats concernant les matrices de Wishart à une certaine classe de tenseur aléatoire, dont la dénomination serait les tenseurs de Wishart. Leur intérêt grandissant dû aux développements des domaines applicatifs nous a conduit à cet axe de recherche pertinent.En particulier, nous nous sommes concentrés sur la situation dans laquelle les composantes de notre vecteur initial associé au tenseur de Wishart sont des variables aléatoires appartenant au second chaos de Wiener. En particulier, ce sont des accroissements de processus de Rosenblatt et de surcroît la loi des entrées n'est pas gaussienne.Il s'est avéré que les termes de l'hyperdiagonale du tenseur, vu comme un vecteur, dominaient et correspondaient aux p-variations du processus de Rosenblatt. Grâce à une étude fine de ces variations, nous parvenons à approcher la loi de notre tenseur de Wishart par celle d'un vecteur aléatoire dont la majorité des composantes sont des variables aléatoires de Rosenblatt.

Résumé traduit

The thesis framework is quite broad, gathering a wide range of studies, from stochastic partial differential equations to the theory of random matrices and random tensors, whose common theme is the analysis of p-variations of stochastic processes. The main tool employed is Malliavin's calculus combined with Stein's method.This thesis is split into three distinct parts, the first one focusing on the statistical inference of stochastic partial differential equations.Firstly, this chapter highlights the drift or diffusion parameters estimation for fractional heat and wave equations driven by a space time white noise. The random noise may be nonlinear. More precisely, those works rely on the study of asymptotic behavior of quadratic variations of the solution associated to these equations. Actually, on the one hand, we establish a central limit theorem obtained by applying the well-known fourth moment theorem to the spatial and temporal quadratic variations of the solution to the wave equation driven by a space time white noise.On the other hand, we also estimate the drift parameter of the fractional stochastic heat equation driven by a nonlinear Gaussian space time white noise. To achieve this, we use the strong connection between the fractional Brownian motion and the solution of fractional heat equation driven by additive Gaussian noise. Through an approximation's criterion based on the increments of the linear solution, we investigate the convergence of the spatial quadratic variations of the solution in the nonlinear case.Furthermore, the other two chapters constituting the thesis provide insights into the asymptotic study of random matrices and random tensors using the Stein-Malliavin method.Yhis problem has already been widely studied in the last years, when the components of the starting matrix associated to Wishart matrix are Gaussian, log-concave, or with a general distribution, with zero, partial, or total correlation. Our contribution consists to get results when the entries of the initial matrix are still Gaussian but relaxing the equi-distribution assumption. In order to do it, we choose certain particular entries, namely the temporal increments of the solution to the stochastic wave equation. We make with a similar analysis for the stochastic heat equation, applying the same methodology.Then, we intended to generalize the findings concerning the Wishart matrices to a class of random tensors, the so-called Wishart tensors. Their growing significance for practical aspects of the real-life led many researchers to their study. In particular, we focused on the situation where the components of our initial random vector associated to Wishart tensor are random variables belonging to the second Wiener chaos. In fact, they are increments of Rosenblatt process, and therefore, the distribution of the entries is not Gaussian. It turned out that the terms on the hyperdiagonal of the tensor, viewed as a vector, are dominant and they are related to the p-variations of the Rosenblatt process. Through a detailed analysis of these variations, we are able to approximate the distribution of our Wishart tensor with that of a random vector, whose components are Rosenblatt random variables or null.