• Langue : Anglais
• Discipline : Mathématiques et leurs interactions
• Identifiant : 2023ULILB022
• Type de thèse : Doctorat
• Date de soutenance : 15/09/2023

Résumé en langue originale

Dans cette thèse, on s'intéresse à certaines actions du groupe libre de rang deux ainsi que du groupe fondamental de la sphère à quatre trous (isomorphe au groupe libre de rang trois) sur les espaces Gromov-hyperboliques. L'objectif est d'étudier deux sous-ensembles de représentations : les représentations de Bowditch (introduites par Bowditch en 1998) ainsi que les représentations primitives-stables (introduites par Minsky en 2010). Ces deux espaces, déjà étudiés dans le cas de représentations à valeurs dans PSL(2,C), fournissent des exemples d'ouverts de propre-discontinuité pour l'action du groupe modulaire sur la variété des caractères. Récemment, Lee et Xu d'une part, et Series d'autre part, ont montré que ces deux classes de représentations sont équivalentes dans le cas du groupe libre de rang deux agissant sur l'espace hyperbolique usuel de dimension trois. On s'intéresse dans cette thèse au cas plus général où l'action a lieu sur des espaces hyperboliques au sens de Gromov. On démontre l'équivalence entre les représentations de Bowditch et les représentations primitive-stable dans ce nouveau contexte par une preuve indépendante, et on l'établit dans le cas du groupe libre de rang deux et du groupe fondamental de la sphère à quatre trous. Cela nous conduit à mener une étude combinatoire des éléments primitifs du groupe libre de rang deux ainsi que des courbes simples sur la sphère à quatre trous et à montrer des propriétés de redondances de ces éléments. On utilise ces arguments combinatoires combinés avec des propriétés de géométrie hyperbolique grossière pour montrer l'équivalence désirée. Cela établit en conséquence l'ouverture de l'ensemble des représentations de Bowditch dans ce contexte.

Résumé traduit

In this thesis, we study some actions of the free group of rank two and of the fundamental group of the four-punctured sphere (which is isomorphic to the free group of rank three) on Gromov-hyperbolic spaces. The aim is to investigate two subsets of representations: Bowditch representations (introduced by Bowditch in 1998) and primitive-stable representations (introduced by Minsky in 2010). These two spaces, already studied in the case of representations in [dollar]PSL(2,C)[dollar], provide examples of open domains of discontinuity for the action of the mapping class group on the character variety. Recently, Lee and Xu on the one hand, and Series on the other, proved that these two classes of representations are equivalent in the case of the free group of rank two acting on PSL(2,C). In this thesis, we examine the more general setting where the action of the group is on Gromov-hyperbolic spaces. We show the equivalence between Bowditch representations and primitive-stable representations in this new context by an independent proof, and we establish it in the case of the free group of rank two and of the fundamental group of the four-punctured sphere. This leads us to carry out a combinatorial study of the primitive elements of the free group of rank two and of simple closed curves on the four-punctured sphere, and to show some redundancy properties of these elements. We use these combinatorial arguments combined with large-scale properties of hyperbolic spaces to show the equivalence. As a consequence, we obtain the openness of the set of Bowditch representations in this context.