Note ABES Développement et analyse de schémas d'ordre élevé pour des modèles de convection-diffusion : étude du comportement en temps long Development and numerical analysis of high-order schemes for convection-diffusion models : study of their long-time behaviour Méthodes numériques d'ordre élevé Numerical analysis Entropy method Numerical methods on general meshes High-Order numerical methods Semiconductors Parabolic PDEs Équations différentielles paraboliques -- Solutions numériques Entropie Méthodes de volumes finis Approximation numérique Maillages polyédriques Semiconducteurs Modèles mathématiques Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'approximation numérique de problèmes de convection-diffusion, potentiellement anisotropes, par des schémas d'ordre élevé sur maillages généraux. Notre objectif est de proposer des méthodes fiables, précises et efficaces : les solutions numériques doivent préserver les propriétés physiques des solutions continues (conservation de la masse, positivité des densités, comportement en temps long) tout en autorisant une large gamme de paramètres de discrétisation (pas de temps grands, maillages spatiaux généraux) et en optimisant la précision de calcul à coût donné. Les problèmes considérés sont des équations d'advection-diffusion ainsi que des systèmes couplés de dérive-diffusion qui modélisent les composants semi-conducteurs.On se concentre d'abord sur une équation d'advection-diffusion seule, pour laquelle nous proposons et analysons trois méthodes d'ordre bas de type volumes finis hybrides (HFV). Cette comparaison met en avant la nécessité d'utiliser un schéma non-linéaire afin de préserver la positivité des solutions, tant d'un point de vue théorique que numérique. On s'intéresse alors à l'approximation d'un système de dérive-diffusion, constitué de deux équations d'advection-diffusion couplées avec une équation de Poisson. Pour ce problème, on introduit un schéma non-linéaire basé sur la méthode précédente, qui préserve les bornes des densités calculées (et en particulier leur positivité) et le comportement en temps long de la solution. Ce schéma HFV pour la dérive-diffusion est ensuite comparé numériquement avec un schéma présentant des propriétés similaires basé sur la méthode volumes finis en dualité discrète (DDFV).Nous nous intéressons alors à des schémas d'ordre élevé (en espace). Ces schémas sont basés sur des méthodes de type hybride d'ordre élevé (HHO) qui peuvent être interprétées comme des extensions à l'ordre arbitraire des méthodes HFV. Nous introduisons deux méthodes pour les équations d'advection-diffusion linéaires. La première est linéaire, tandis que la seconde est non-linéaire, et permet de préserver la positivité. Pour ces deux schémas, nous prouvons l'existence de solutions discrètes et établissons des résultats de comportement en temps long. Nous confirmons également ces résultats numériquement, et mettons en avant la nécessité d'utiliser une méthode non-linéaire pour préserver la positivité. Par ailleurs, on observe que la méthode non-linéaire converge à l'ordre attendu. De plus, la montée en ordre permet un gain d'efficacité (précision de l'approximation pour un coût de calcul donné) conséquent par rapport aux méthodes d'ordre bas des premiers chapitres.Ces travaux sont complétés par l'étude de problèmes de convection-diffusion avec convection très irrégulière, effectuée en collaboration avec des physiciens durant la thèse. Les recherches menées visent à comprendre comment concevoir des diodes électroluminescentes efficaces émettant dans l'ultraviolet profond, et soulèvent divers enjeux relatifs à la modélisation, l'analyse numérique et la simulation de ces problèmes. In this thesis, we are interested in the numerical approximation of anisotropic convection-diffusion problems using high-order schemes on general meshes. Our objective is to develop reliable, accurate, and efficient methods: the numerical solutions must preserve the physical properties of the continuous solutions (mass conservation, positivity of densities, long-time behaviour) while allowing for a wide range of discretisation parameters (large time steps, general spatial meshes) and optimising the accuracy at a given computational cost. The problems under study are advection-diffusion equations as well as coupled drift-diffusion systems that model semiconductor devices.We first focus on a single advection-diffusion equation for which we propose and analyse three different hybrid finite volume (HFV) methods to approximate the solution. Their comparison highlights the necessity of using a nonlinear scheme to ensure the preservation of positivity, both from a theoretical and a numerical level. We then consider the numerical approximation of a drift-diffusion system, consisting of two coupled advection-diffusion equations with a Poisson equation. For this problem, we introduce a nonlinear scheme based on the previous method, which preserves the bounds on the computed densities (including their positivity) and the long-time behaviour of the solution. This HFV scheme for drift-diffusion is then numerically compared with another scheme with similar properties based on the discrete duality finite volume (DDFV) method.We then focus on high-order (in space) schemes. These schemes are based on hybrid high-order (HHO) methods which can be interpreted as an arbitrary-order extension of HFV methods. We introduce two schemes for linear advection-diffusion: the first method is linear, while the second one is nonlinear and preserves the positivity of the solution. For both of these schemes, we prove the existence of discrete solutions and establish results about their long-time behaviour. We also confirm these results numerically and emphasise the need to use a nonlinear method to preserve positivity. We observe that the nonlinear method converges at the expected order. Furthermore, increasing the order leads to a significant gain in efficiency (accuracy of the approximation for a given computational cost) compared to the low-order methods discussed in the first chapters.These works are complemented with the study of convection-diffusion problems with highly irregular convection, carried out in collaboration with physicists during the thesis. These investigations aim to understand how to design efficient deep ultraviolet-emitting electroluminescent diodes, and raise various issues related to the modeling, numerical analysis and simulation of these problems. Electronic Thesis or Dissertation Text fr en PDF 5623150 https://pepite-depot.univ-lille.fr/LIBRE/EDMADIS/2023/2023ULILB021.pdf https://theses.fr/2023ULILB021/abes Long-time behaviour of hybrid finite volume schemes for advection-diffusion equations: linear and nonlinear approaches Claire Chainais-Hillairet Maxime Herda Simon Lemaire Julien Moatti en 2022 Text A structure preserving hybrid finite volume scheme for semiconductor models with magnetic field on general meshes Julien Moatti en 2023 Text Structure-Preserving Schemes for Drift-Diffusion Systems on General Meshes: DDFV Versus HFV Stella Krell Julien Moatti en 2023 Text Structure preservation in high-order hybrid discretisations of potential-driven advection-diffusion: linear and nonlinear approaches Simon Lemaire Julien Moatti en 2024 Text Impact of random alloy fluctuations on the carrier distribution in multi-color (In,Ga)N/GaN quantum well systems Michael O’Donovan Patricio Farrell Julien Moatti Timo Streckenbach Thomas Koprucki Stefan Schulz en 2024 Text Importance of satisfying thermodynamic consistency in optoelectronic device simulations for high carrier densities Patricio Farrell Julien Moatti Michael O’Donovan Stefan Schulz Thomas Koprucki Springer Link en 2023 Text Theoretical study of the impact of alloy disorder on carrier transport and recombination processes in deep UV (Al,Ga)N light emitters Robert Finn Michael O’Donovan Patricio Farrell Julien Moatti Timo Streckenbach Thomas Koprucki Stefan Schulz AIP Publishing en 2023 Text Moatti Julien Moatti 1995-04-09 FR 275088502 https://theses.fr/2023ULILB021 2023ULILB021 https://doi.org/10.70675/21d5279dz24dez423bza181z3d390d759098 2023-09-26 Mathématiques et leurs interactions Université de Lille (2022-....) 259265152 Doctorat Docteur es oui oui Chainais-Hillairet Claire MADS_DIRECTEUR_DE_THESE_1 159317762 Ern Alexandre MADS_PRESIDENT_DU_JURY 060609788 Herbin Raphaèle MADS_MEMBRE_DU_JURY_1 070667543 Krell Stella MADS_MEMBRE_DU_JURY_2 150723415 Perugia Ilaria MADS_MEMBRE_DU_JURY_3 241339774 Herda Maxime MADS_MEMBRE_DU_JURY_4 223452289 Lemaire Simon MADS_MEMBRE_DU_JURY_5 176727418 Beirão da Veiga Lourenço MADS_RAPPORTEUR_1 177974257 Droniou Jérôme MADS_RAPPORTEUR_2 058580522 École graduée Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....) MADS_ECOLE_DOCTORALE_1 258621362 Laboratoire Paul Painlevé MADS_PARTENAIRE_DE_RECHERCHE_1 32 161603971 Centre Inria de l'Université de Lille MADS_PARTENAIRE_DE_RECHERCHE_2 104752 185432247 ddc:510 Chainais-Hillairet Claire Ern Alexandre Herbin Raphaèle Krell Stella Perugia Ilaria Herda Maxime Lemaire Simon Beirão da Veiga Lourenço Droniou Jérôme Ecole doctorale Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....) Laboratoire Paul Painlevé Centre Inria de l'Université de Lille PDF 5623150