Note ABES Ruptures, singularités : détection et estimation Change-point : detection and estimation Estimateur bayésien Rupture épidémique Poisson process Hölder space Change point Rupture (statistique) Estimation de paramètres Processus de Poisson Espaces de Holder Statistique bayésienne Cette thèse regroupe quelques travaux concernant des problèmes de rupture pour des processus stochastiques. Dans la première partie, nous nous intéressons au problème d'estimation, à partir de [dollar]n[dollar] observations indépendantes d'un processus de Poisson non-homogène, de la position de ce que nous appelons une rupture lisse (un endroit où la fonction d'intensité du processus passe d'un niveau à un autre d'une manière continue, mais sur un intervalle tellement petit, que sa longueur [dollar]delta_n[dollar] peut être considérée comme convergeant vers~[dollar]0[dollar]). Nous montrons que dans le cas où [dollar]delta_n[dollar] converge vers [dollar]0[dollar] moins vite que [dollar]1/n[dollar] (cas lent), notre modèle est localement asymptotiquement normal (avec une vitesse non standard), et que dans le cas où [dollar]delta_n[dollar] converge vers [dollar]0[dollar] plus vite que [dollar]1/n[dollar] (cas rapide), notre modèle est non régulier et se comporte comme un modèle de rupture classique. Tous ces résultats sont obtenus en utilisant la méthode d'analyse de rapport de vraisemblance de Ibragimov et Khasminskii, qui garantit également la convergence des moments des estimateurs considérés. Par contre, pour pouvoir appliquer cette méthode dans le cas rapide, nous avons dû d'abord l'adapter à la topologie [dollar]M_1[dollar] sur l'espace de Skorokhod des fonctions càdlàg, ainsi que développer quelques outils pour l'étude de convergence des fonctions dans cette topologie. La deuxième partie de la thèse traite de la détection de rupture dans la régularité höldérienne. Nous étudions la détection de rupture épidémique dans la régularité d'un [dollar]n[dollar]-échantillon de fonctions aléatoires i.i.d. de régularité höldérienne globale [dollar]alpha[dollar] sous l'hypothèse nulle. Sous l'hypothèse alternative, un segment d'échantillon de localisation et de longueur [dollar]l^star<n[dollar] inconnues subit une diminution de la régularité höldérienne à l'exposant [dollar]beta<alpha[dollar]. Nous utilisons ici une statistique de type CUSUM à pondération höldérienne d'exposant [dollar]0<gamma<1/2[dollar] construite sur les normes [dollar]alpha[dollar]-höldériennes d'interpolations affines des fonctions aléatoires observées. Le choix de [dollar]gamma[dollar], contraint par le degré d'intégrabilité des fonctions aléatoires, permet la détection de très courtes ruptures, typiquement avec [dollar]l^star[dollar] de l'ordre de [dollar]n^delta[dollar] où [dollar]delta[dollar] tend vers [dollar]0[dollar] quand [dollar]gamma[dollar] tend vers [dollar]1/2[dollar]. Nous réinvestissons ensuite cette technique dans l'étude de la rupture de régularité höldérienne d'une seule fonction aléatoire [dollar]xi[dollar] à trajectoires continues et accroissements indépendants et de carré intégrable. Ce problème se ramène à la détection de rupture épidémique pour le og paramètrefg fonctionnel [dollar]f[dollar] dans le modèle [dollar]xi(t) = W(f(t)) [dollar], [dollar]tin[0,1] [dollar], où [dollar]W[dollar] est un mouvement brownien standard et [dollar]f[dollar] une fonction continue croissante. On aboutit ainsi à un problème de rupture épidémique dans la variance des accroissements de pas [dollar]1/n[dollar] de [dollar]xi[dollar], et l'utilisation d'une statistique CUSUM à pondération höldérienne généralisée nous permet de détecter une très courte rupture. Tous ces résultats sont obtenus en utilisant le principe d'invariance höldérien. This Ph.D. thesis gathers some works concerning change-point problems for stochastic processes. In Part one, we are interested in the problem of the estimation, from [dollar]n[dollar] independent observations of an inhomogeneous Poisson process, of the location of what we call a smooth change-point (a point in which the intensity function of the process switches from one level to another smoothly, but over such a small interval, that its length [dollar]delta_n[dollar] can be considered as converging to~[dollar]0[dollar]). We show that in the case where [dollar]delta_n[dollar] goes to zero slower than [dollar]1/n[dollar] (slow case), our model is locally asymptotically normal (though with an unusual rate), and that in the case where [dollar]delta_n[dollar] goes to zero faster than [dollar]1/n[dollar] (fast case), our model is non-regular and behaves like a classic change-point model. All these results are obtained using the likelihood ratio analysis method of Ibragimov and Khasminskii, which equally yields the convergence of moments of the considered estimators. However, in order to apply this method in the fast case, we first had to adapt it to the topology [dollar]M_1[dollar] on the Skorokhod space of càdlàg functions, as well as to develop some tools for the study of convergence of functions in this topology. The Part two deals with the detection of a change in the Hölder regularity. We study the detection of an epidemic change in the regularity of an [dollar]n[dollar]-sample of i.i.d. random functions with Hölder regularity [dollar]alpha[dollar] under null hypothesis. Under the alternative hypothesis, a segment of the sample of an unknown location and length [dollar]l^star<n[dollar] undergoes a decrease of the Hölder regularity to an exponent [dollar]beta<alpha[dollar]. We use a CUSUM-type statistic with a Hölderian weighting with exponent [dollar]0<gamma<1/2[dollar] constructed on the [dollar]alpha[dollar]-Hölderian norms of interpolations of the observed random functions. The choice of [dollar]gamma[dollar], constrained by the degree of integrability of the random functions, allows the detection of very short changes, typically with [dollar]l^star[dollar] of order of [dollar]n^delta[dollar], where [dollar]delta[dollar] goes to [dollar]0[dollar] when [dollar]gamma[dollar] goes to [dollar]1/2[dollar]. We then reinvest this technique in the study of the change of the Hölder regularity of a single square integrable random function [dollar]xi[dollar] with continuous trajectories and independent increments. This problem is reduced to the detection of an epidemic change for the functional "parameter'' [dollar]f[dollar] in the model [dollar]xi(t) = W(f(t)) [dollar], [dollar]tin[0,1] [dollar], where [dollar]W[dollar] is a Brownian motion and [dollar]f[dollar] is a non-decreasing continuous function. This leads to a problem of epidemic change in the variance of increments of mesh size [dollar]1/n[dollar] of [dollar]xi[dollar], and the use of a CUSUM statistic with a generalized Hölderian weighting allows us to detect a very short epidemics. All these results are obtained using the Hölderian invariance principle. Electronic Thesis or Dissertation Text fr PDF 1275727 https://pepite-depot.univ-lille.fr/LIBRE/EDMADIS/2022/2022ULILB030.pdf http://www.theses.fr/2022ULILB030/abes https://theses.hal.science/tel-04051226 https://theses.hal.science/tel-04051226 https://theses.hal.science/tel-04051226 https://theses.hal.science/tel-04051226 https://theses.hal.science/tel-04051226 https://theses.hal.science/tel-04051226 Amiri Arij Amiri 1993-03-19 TN 268685436 https://theses.fr/2022ULILB030 2022ULILB030 https://doi.org/10.70675/ebc232afz5b1cz4cc1z91bez21bffcd1fbe3 2022-12-02 Mathématiques et leurs interactions Université de Lille (2022-....) 259265152 Doctorat Docteur es non oui Suquet Charles MADS_DIRECTEUR_DE_THESE_1 031750370 Dachian Sergueï MADS_DIRECTEUR_DE_THESE_2 130380393 Duval Céline MADS_PRESIDENT_DU_JURY 16741061X Ciuperca Gabriela MADS_MEMBRE_DU_JURY_1 194876497 Enikeeva Farida MADS_MEMBRE_DU_JURY_2 262576635 Bardet Jean-Marc MADS_RAPPORTEUR_1 053493982 Höpfner Reinhard MADS_RAPPORTEUR_2 069982562 École graduée Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....) MADS_ECOLE_DOCTORALE_1 258621362 Laboratoire Paul Painlevé MADS_PARTENAIRE_DE_RECHERCHE_1 32 161603971 ddc:510 Suquet Charles Dachian Sergueï Duval Céline Ciuperca Gabriela Enikeeva Farida Bardet Jean-Marc Höpfner Reinhard École graduée Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....) Laboratoire Paul Painlevé (Villeneuve d'Ascq (Nord)) PDF 1275727