• Langue : Anglais
• Discipline : Mathématiques et leurs interactions
• Identifiant : 2022ULILB026
• Type de thèse : Doctorat
• Date de soutenance : 11/10/2022

Résumé en langue originale

Dans cette thèse, nous considérons une fonctionnelle d'énergie Gross--Pitaevskii (GP) comme modèle pour la rotation d'un espèce et de deux espèces de condensats de Bose--Einstein (BEC) en deux dimensions. Ce modèle peut être adimensionné pour mettre en évidence un régime de confinement fort avec une forte interaction entre les deux composants. Nous introduisons une nouvelle discrétisation de cette énergie, comportant à la fois des schémas de différence finie et de Fourier, dans un domaine borné dans R² en utilisant des conditions aux bords de Dirichlet. Nous développons un algorithme de méthode de gradient explicite avec pas adaptatif et projection (EPG) sur la variété de contraintes pour la minimisation de l'énergie. Cette méthode permet de dériver un critère d'arrêt. Nous proposons également deux algorithmes de post-traitement pour les minimiseurs numériques. L'un est destiné aux vortex simples tandis que l'autre est destiné aux nappes de vortex. Les deux algorithmes détectent ces structures et calculent leurs indices.Dans un article récent intitulé "Vortex patterns and sheets in segregated two component Bose-Einstein condensates", les auteurs étudient le comportement d'un BEC ségrégué à deux espèces mis en rotation. Ils ont pu prouver que pour une grande rotation, l'interface entre les deux composants s'allonge, conduisant éventuellement à des nappes de vortex. Ils ont également étudié les structures des vortex du BEC dans un régime ségrégué. Dans cette thèse, nous avons pu produire des simulations numériques à l'aide d'EPG, validant ces résultats théoriques récents, supportant des conjectures et couvrant différents cas physiques (les cas d'un espèce et de deux espèces en régime de coexistence qui existent déjà dans la littérature mathématique). Nous illustrons également l'efficacité d'EPG par rapport à la méthode bien connue de GPELab qui consiste à résoudre un système linéairement implicite à chaque pas de temps.Enfin, nous avons pu adapter quelques théorèmes trouvés dans la littérature à notre problème discret. Nous prouvons l'existence d'un minimiseur global de la fonctionnelle d'énergie Gross--Pitaevskii pour le schéma aux différences finies et étudions certaines de ses propriétés. Nous travaillons également sur des problèmes symétriques rencontrés dans certaines simulations numériques.

Résumé traduit

In this thesis, we consider a Gross--Pitaevskii (GP) energy functional as a model for rotating one component and two components Bose--Einstein condensates (BEC) in two dimensions. This model can be non-dimensionalized to highlight a strong confinement regime with strong interaction between the two components. We introduce a new discretization of this energy, featuring both finite difference and fast Fourier schemes, in a bounded domain in R² using Dirichlet boundary conditions. We develop an explicit gradient method algorithm with adaptive step and projection (EPG) over the constraints manifold for the minimization of the energy. This method allows for the derivation of a stopping criterion. We propose as well two post processing algorithms for the numerical minimizers. One is aimed for single vortices while the other is aimed for vortex sheets. Both algorithms detect these structures and compute their indices.In a recent article titled "Vortex patterns and sheets in segregated two component Bose-Einstein condensates", the authors study the behaviour of a segregated two-component BEC set into rotation. They were able to prove that for large rotation, the interface between the components gets long, leading possibly towards vortex sheets. They also studied the vortex structures of BEC in a segregated regime. In this thesis, we were able to produce numerical simulations using EPG, validating these recent theoretical results, supporting conjectures and covering different physical cases (the cases of one component and two components in coexistence regime that alredy exists in the mathematical litterature). We also illustrate the efficiency of EPG compared to that well-known GPELab's method which consists on solving linearly implicit system at each time-step.Finally, we were able to adapt few theorems found in the literature to our discrete problem. We prove the existence of a global minimizer of the Gross--Pitaevskii energy functional for the finite difference scheme and study some of its properties. We also work on symmetrical problems we encountered in some of the numerical simulations.