Note ABES Arithmétique et topologie des noeuds modulaires Arithmetic and topology of modular knots Variétés de caractères Enlacements Modular curve Quadratic forms Character varieties Knots Linking Continued fraction Courbes modulaires Groupes modulaires Formes quadratiques Théorie des noeuds Flots géodésiques Fractions continues Dans cette thèse consacrée au groupe modulaire PSL(2;Z), on étudie plusieurs structures arithmétiques et topologiques sur l'ensemble de ses classes de conjugaison, comme des relations d'équivalence ou des fonctions bilinéaires.Le groupe modulaire PSL(2;Z) agit sur le plan hyperbolique avec pour quotient la surface modulaire M, dont le fibré tangent unitaire U est une variété de dimension 3 homéomorphe au complémentaire d'un noeud de trèfle dans la sphère. Les noeuds modulaires dans U sont les orbites périodiques du flot géodésique, relevés des géodésiques fermées orientées de M, qui correspondent aux classes de conjugaison hyperboliques dans PSL(2;Z). Leur enlacement avec le noeud de trèfle est bien compris. On s'intéresse aux nombres d'enlacement entre ces noeuds modulaires, pour lesquels on détermine plusieurs expressions exploitant la combinatoire, la dynamique ou l'algèbre du groupe modulaire. En particulier, on associe à deux noeuds modulaires une fonction définie sur la variété des caractères de PSL(2;Z), dont la limite au bord retrouve leur enlacement.Les matrices hyperboliques de PSL(2;Z) indexent aussi diverses familles d'objets arithmétiques, telles que les formes quadratiques binaires entières indéfinies.Pour un corps K contenant Q, on dit que deux matrices de PSL(2;Z) sont K-équivalentes si elles sont conjuguées par un élément de PSL(2;K). On décrit comment le groupement des PSL(2;Z)-classes en K-classes varie avec K. Pour K=C cela revient à regrouper les formes quadratiques d'un même discriminant, ou les géodésiques modulaires de même longueur. Pour K=Q on obtient un raffinement de cette relation d'équivalence, que l'on relie à l'arithmétique des formes quadratiques (symboles de Hilbert) et que l'on décrit en termes des géodésiques modulaires (angles aux points d'intersection et longueurs des ortho-géodésiques). In this work, dedicated to the modular group PSL(2;Z), we investigate several arithmetical and topological structures underlying its set of conjugacy classes, such as equivalence relations and bilinear pairings.The modular group PSL(2;Z) acts on the hyperbolic plane with quotient the modular surface M, whose unit tangent bundle U is a 3-manifold homeomorphic to the complement of the trefoil knot in the 3-sphere. The modular knots in U are the periodic orbits for the geodesic flow, the lifts of closed oriented geodesics in M, which correspond to hyperbolic conjugacy classes in PSL(2;Z). Their linking numbers with the trefoil is well understood. We are concerned with the linking numbers between modular knots and derive several formulae with combinatorial, dynamical or group theoretical flavour. In particular, we associate to a pair of modular knots a function defined on the character variety of PSL(2;Z), whose limit at the boundary point recovers their linking number.The hyperbolic matrices in the modular group PSL(2;Z) also parametrize various families of objects in arithmetics such as indefinite integral binary quadratic forms. For a field extension K of Q, we consider two matrices in PSL(2;Z) as K-equivalent when they are conjugate by an element in PSL(2;K). The set of PSL(2;Z)-classes is thus partitioned into K-classes, and we describe how this varies with K. For K=C it amounts to grouping binary quadratic forms with the same discriminant and modular geodesics of the same length. For K=Q we obtain a refinement of this equivalence relation, which we relate to the arithmetic of integral binary quadratic forms (Hilbert symbols) and describe in terms of the geometry of modular geodesics (angles at intersection points, and lengths of ortho-geodesics). Electronic Thesis or Dissertation Text en PDF 22667293 https://pepite-depot.univ-lille.fr/LIBRE/EDMADIS/2022/2022ULILB012.pdf http://www.theses.fr/2022ULILB012/abes https://theses.hal.science/tel-03945655 https://theses.hal.science/tel-03945655 https://theses.hal.science/tel-03945655 https://theses.hal.science/tel-03945655 https://theses.hal.science/tel-03945655 https://theses.hal.science/tel-03945655 Simon Christopher-Lloyd Simon 1995-07-31 FR 245364188 https://theses.fr/2022ULILB012 2022ULILB012 https://doi.org/10.70675/76a4b36dze910z44a2z9db0z29107e88a015 2022-06-24 Mathématiques et leurs interactions Université de Lille (2022-....) 259265152 Doctorat Docteur es non oui Popescu-Pampu Patrick MADS_DIRECTEUR_DE_THESE_1 069555257 Ghys Étienne MADS_DIRECTEUR_DE_THESE_2 031771645 Bonahon Francis MADS_PRESIDENT_DU_JURY 136526152 Pichon Anne MADS_MEMBRE_DU_JURY_1 233680918 Funar Louis MADS_MEMBRE_DU_JURY_2 122047133 Bonahon Francis MADS_RAPPORTEUR_1 136526152 Otal Jean-Pierre MADS_RAPPORTEUR_2 073361771 École graduée Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....) MADS_ECOLE_DOCTORALE_1 258621362 Laboratoire Paul Painlevé MADS_PARTENAIRE_DE_RECHERCHE_1 32 161603971 ddc:510 Popescu-Pampu Patrick Ghys Étienne Bonahon Francis Pichon Anne Funar Louis Bonahon Francis Otal Jean-Pierre École graduée Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....) Laboratoire Paul Painlevé (Villeneuve d'Ascq (Nord)) PDF 22667293