Note ABES Two topics in number theory : Hilbert specialization of parametrized varieties and Galois module structure of the square root of the inverse different Deux sujets en théorie des nombres : spécialisation de Hilbert de variétés paramétrées et structure galoisienne de la racine carrée de la codifférente Spécialisation de Hilbert Irréductibilité de polynômes Racine carrée de la codifférente Classes réalisables Variétés affines Hilbert specialization Irreducibility of polynomials Families of affine varieties Galois module structure Square root of the inverse different Realizable classes Théorie des nombres algébriques Géométrie algébrique arithmétique Hypersurfaces Modules galoisiens Groupes de classes (mathématiques) Dans cette thèse, nous traitons de deux sujets en théorie des nombres : la spécialisation de Hilbert devariétés paramétrées et la structure galoisienne de la racine carrée de la codifférente d’extensions non abéliennesmétacycliques.La spécialisation de Hilbert est un outil important en Géométrie Arithmétique et en Arithmétique des Corpsqui a généralement été appliqué aux polynômes, donc aux hypersurfaces, et en valeurs scalaires. Dans la premièrepartie de cette thèse, nous étendons cet outil aux idéaux premiers, donc aux variétés affines. Nous donnonsensuite une application à l’étude de l’irréductibilité de l’intersection des variétés. Enfin, encouragé par desrésultats récents, nous considérons la situation plus générale dans laquelle la spécialisation est faite en des valeurspolynomiales, au lieu de valeurs scalaires.Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudierons la structure galoisienne de la racine carrée de la codifférente.Étant donné un corps de nombres K et un groupe ?, nous considérons une extension de Galois modérémentramifiée N/K à groupe de Galois isomorphe à ?. Si nous prenons ? d’ordre impair, nous pouvons définir un idéalfractionnaire de N qu’on appele la racine carrée de la codifférente AN/K. Cet idéal fractionnaire est ambige, il peutdonc être muni de manière naturelle d’une structure de OK[?]-module. De plus, c’est un OK[?]-module localementlibre. Donc nous pouvons considérer sa classe [AN/K] dans Cl(OK[?]), le groupe des classes des OK[?]-moduleslocalement libres. Maintenant, soient M un OK-ordre maximal dans l’algèbre semi-simple K[?] contenant OK[?]et Cl(M) son group des classes. Ainsi, on peut considérer la classe [MOK[?] AN/K] dans Cl(M). On note R(A,OK[?]) et R(A,M) l’ensemble de toutes les classes [AN/K] et [MOK[?] AN/k], respectivement, lorsque N varie parmi toutes les extensions modérément ramifiées de K à groupe de Galois isomorphe à ?. On conjecture que R(A,OK[?]) et R(A,M) sont des sous-groupes de Cl(OK[?]) et Cl(M), respectivement. Sous des hypothèsesappropriées, nous prouvons d’abord que R(A,M) est un sous-groupe de Cl(M) lorsque ? est un groupe cycliqued’ordre un nombre premier impair. Ensuite, quand ? est un groupe métacyclique non abélien d’ordre impairlq, pour q un premier impair, on définit un sous-ensemble de R(A,M) et, en utilisant le premier résultat, nousdémontrons qu’il est un sous-groupe de Cl(M). In this thesis, we discuss two topics in number theory: the Hilbert specialization of parametrizedvarieties and the Galois module structure of the square root of the inverse different for metacyclic non-abelianextensions.Hilbert specialization is an important tool in Field Arithmetic and Arithmetic Geometry, which has usuallybeen intended for polynomials, hence hypersurfaces, and at scalar values. In the first part of this thesis, we extendthis tool to prime ideals, hence affine varieties. Then we give an application to the study of the irreducibilityof the intersection of varieties. Finally, encouraged by recent results, we consider the more general situation inwhich the specialization is done at polynomial values, instead of scalar values.In the second part of the thesis we will study the Galois module structure of the square root of the inversedifferent. Given a number field K and a group ?, we consider a tamely ramified Galois extension N/K of Galoisgroup isomorphic to ?. If we take ? of odd order, we can define a fractional ideal of N called the square root of theinverse different AN/K. This fractional ideal is ambiguous, so it can be endowed in a natural way with an OK[?]-module structure. Moreover, it is a locally free OK[?]-module. So we can consider its class [AN/K] in Cl(OK[?]),the class group of the locally free OK[?]-modules. Now, let M be a maximal OK-order in the semisimple algebraK[?] containing OK[?] and Cl(M) its class group. Thus, we can consider the class [MOK[?] AN/K] in Cl(M). Denote by R(A,OK[?]) and R(A,M) the set of all the classes [AN/K] and [MOK[?] AN/K], respectively, as N varies over all the tamely ramified extensions of K whose Galois group is isomorphic to ?. We conjecture thatR(A,OK[?]) and R(A,M) are subgroups of Cl(OK[?]) and Cl(M), respectively. Under suitable assumptions, weprove, first, that R(A,M) is a subgroup of Cl(M) when ? is a cyclic group of order an odd prime number. Then,when ? is a non-abelian metacyclic group of odd order lq, for q an odd prime, we define a subset of R(A,M)and, using the first result, we prove that it is a subgroup of Cl(M). Electronic Thesis or Dissertation Text en fr PDF 955824 https://pepite-depot.univ-lille.fr/LIBRE/EDSPI/2021/2021LILUI037.pdf https://theses.hal.science/tel-03475094 https://theses.hal.science/tel-03475094 https://theses.fr/2021LILUI037/abes https://theses.hal.science/tel-03475094 https://theses.hal.science/tel-03475094 https://theses.hal.science/tel-03475094 https://theses.hal.science/tel-03475094 Iadarola Angelo Iadarola 1994-08-07 IT 258428996 https://theses.fr/2021LILUI037 2021LILUI037 https://doi.org/10.70675/19b061e8z62f4z4da3zb6d6z348d9a76392e 2021-06-24 Mathématiques et leurs interactions Université de Lille (2018-2021) 223446556 Doctorat Docteur es non oui Dèbes Pierre MADS_DIRECTEUR_DE_THESE_1 113910290 Sodaïgui Bouchaïb MADS_DIRECTEUR_DE_THESE_2 068729294 Deschamps Bruno MADS_PRESIDENT_DU_JURY 050223178 Cassou-Noguès Philippe MADS_MEMBRE_DU_JURY_1 031772226 Checcoli Sara MADS_MEMBRE_DU_JURY_2 223419648 Del Corso Ilaria MADS_MEMBRE_DU_JURY_3 222221623 Bary-Soroker Lior MADS_RAPPORTEUR_1 Byott Nigel Paul MADS_RAPPORTEUR_2 199340935 École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille ; 1992-2021) MADS_ECOLE_DOCTORALE_1 147297028 Laboratoire Paul Painlevé MADS_PARTENAIRE_DE_RECHERCHE_1 161603971 Laboratoire Paul Painlevé - UMR 8524 / LPP MADS_PARTENAIRE_DE_RECHERCHE_2 32 ddc:510 Dèbes Pierre Sodaïgui Bouchaïb Deschamps Bruno Cassou-Noguès Philippe Checcoli Sara Del Corso Ilaria Bary-Soroker Lior Byott Nigel Paul École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille) Laboratoire Paul Painlevé Laboratoire Paul Painlevé - UMR 8524 / LPP PDF 955824