• Langue : Français
• Discipline : Mathématiques et leurs interactions
• Identifiant : 2021LILUI035
• Type de thèse : Doctorat
• Date de soutenance : 08/06/2021

Résumé en langue originale

Cette thèse est consacrée à l’étude des opérateurs de Toeplitz et des opérateursde composition sur les espaces de de Branges-Rovnyak H(b), qui sont une classed’espaces de Hilbert de fonctions analytiques dans le disque unité ouvert D duplan complexe, paramétrée par une fonction b dans la boule unité de H∞. Cesespaces ont été introduits, dans les années 60, pour construire un modèle pourles contractions sur un espace de Hilbert, mais on s’est aperçu depuis qu’ilsavaient un rôle important à jouer dans de nombreuses questions de théorie desopérateurs et de théorie des fonctions d’une variable complexe.Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés, d’une part, à l’étude desopérateurs de Toeplitz T¯φ, où φ ∈ H∞, qui agissent de façon borné sur H(b).Nous avons donné quelques estimations de la norme de ces opérateurs, puis nousavons obtenu une caractérisation de la compacité. Nous avons également étudiéla dynamique de ces opérateurs, en donnant une caractérisation de l’hypercyclicitéet en construisant un vecteur cyclique commun. Comme souvent dansla théorie des espaces de de Branges-Rovnyak, ces propriétés vont dépendre dufait que log(1 − |b|) est intégrable ou non sur T. Nous avons ainsi généralisé uncertain nombre de résultats connus pour les opérateurs de Toeplitz standardTφ définis sur H² et les opérateurs de Toeplitz tronqué Aθφ définis sur l’espacemodèle Kθ = H(θ) (correspondant au cas où b = θ est une fonction intérieure).D’autre part, nous nous sommes également intéressés à une autre classed’opérateurs naturels, à savoir les opérateurs de composition sur H(b). Dansle cas, où la fonction b est une fonction rationnelle et telle que log(1 − |b|) estintégrable sur T, nous avons caractérisé la bornitude et la compacité des opérateursde composition Cφ sur H(b), en exploitant un lien intéressant avec lesopérateurs de composition à poids sur H². Nous avons en particulier généraliséplusieurs résultats obtenus précédemment par Sarason-Silva pour les opérateursde composition sur les espaces de Dirichlet locaux.

Résumé traduit

This thesis is devoted to the study of Toeplitz operators and composition operatorson de Branges-Rovnyak spaces H(b), which are a class of Hilbert spacesof analytic functions on the open unit disk D of the complex plane, parameterizedby a function b in the unit ball of H∞. These spaces were introduced in the1960s to construct a model for contractions on a Hilbert space but we have sincenoticed that they had an important role to play in many questions of operatortheory and function theory of complex variable.In this thesis, we were interested, on the one hand, in the study of Toeplitzoperators T¯φ, where φ ∈ H∞, which acts boundedly on H(b). We gave someestimates of the norm of these operators. Then we obtained a characterization ofthe compactness. We have also studied the dynamics of these operators, giving acharacterization of hypercyclicity and constructing a common cyclic vector. Asoften in the theory of de Branges-Rovnyak spaces, these properties will dependon whether log(1 − |b|) is integrable or not on T. We have thus generalizeda certain number of known results for standard Toeplitz operators Tφ definedon H2 and the truncated Toeplitz operators Aθφ defined on the model spaceKθ = H(θ) (corresponding to the case where b = θ is an inner function).On the other hand, we were also interested in an another class of naturaloperators, namely the composition operators on H(b). In the case where thefunction b is a rational function and such that log(1 − |b|) is integrable on T,we have characterized the boundedness and the compactness of the compositionoperators C φ on H(b), by exploiting an interesting link with the weightedcomposition operator on H². In particular, we have generalized several resultsobtained previously by Sarason-Silva for composition operators on local Dirichlet spaces.