• Langue : Français
• Discipline : Mathématiques et leurs interactions
• Identifiant : 2021LILUB003
• Type de thèse : Doctorat
• Date de soutenance : 17/09/2021

Résumé en langue originale

Le principal objectif de cette thèse est de calculer le premier moment mixte des fonctions L associées aux formes de Hecke--Maass sur SL(3) et des fonctions L de Dirichlet associées. Cela permettra de déduire dans un second temps un résultat de non-annulation simultanée.En utilisant des méthodes standard telles que la moyenne après l'application des équations fonctionnelles approximées, nous prouvons que dans un premier temps que le premier moment en s=1/2+a est non nul pour a un complexe de partie réelle supérieure à 1/10. En comparant ce résultat à ceux connus sur SL(2), ce résultat n'est pas satisfaisant car il ne couvre pas le cas où a=0. La principale difficulté du cas de SL(3) est de faire la moyenne sur les coefficients de Fourier des formes de Maass, qui se comportent moins bien que pour SL(2). Une autre difficulté importante est la longueur des sommes à évaluer qui est plus importante.Dans ce type de problème, une manière d'améliorer le terme d'erreur est de rajouter une moyenne additionnelle. Nous faisons pour cela une moyenne sur les modules des caractères de Dirichlet les choisissant correctement un bon ensemble. Nous constaterons que cela nous permet de prendre la partie réelle du paramètre égale à 1/18. Ce n'est toujours pas suffisant pour obtenir un résultat en la valeur centrale.Afin d'obtenir un résultat en 1/2, nous serons obligé de supposer vrai une conjecture folklorique supplémentaire : les coefficients des formes de Hecke--Maass sur SL(3) satisfont une annulation en racine carré en moyenne, de la même manière que celles sur SL(2).Puisque le moment est non nul, au moins un des termes de la somme est non nul, ce qui implique la non annulation d'un des produit de fonctions L considérées pour une infinité de caractères de Dirichlet.

Résumé traduit

The main goal of this thesis is to compute the first mixed moment of products of twisted SL(3) Hecke-Maass forms L functions and Dirichlet L functions. This will allow us to deduce a simultaneous non-vanishing result.Using standard methods such as averaging over the Dirichlet characters after applying an approximate functional equation, we are able to compute the first moment at s = 1/2 + a and show that it is non-zero for the real part of a larger than 1/10. When comparing this to known results on SL(2), our theorem is not satisfactory as it does not cover the case when a = 0. The main difficulty when dealing with SL(3) instead of SL(2) is to compute the average of the Fourier coefficients of the Maass form, whose behaviour is not known optimally. Another obstacle is in the fact that the length of the considered sums is greater since the degree of the considered L function is higher.In this kind of problem one way of improving the error term is to compute an additional average. In order to do so, we add another mean over the modulus of the Dirichlet characters. We do this over a well chosen set of integers. After this the first moment is non zero for the real part of the parameter greater than 1/18. This is still not enough to get a result at the central value.In order to get the nonvanishing property at 1/2 we are forced to assume a folkloric conjecture about the the square root cancellation on the average of the Fourier coefficients of SL(3) Hecke--Maass forms, which is an essential ingredient in the proof on SL(2).Finally, since we showed that the first moment is non zero, we deduce the non vanishing of the product of the considered L-functions for an infinite number of Dirichlet characters.