• Langue : Anglais
• Discipline : Mathématiques et leurs interactions
• Identifiant : 2020LILUI053
• Type de thèse : Doctorat
• Date de soutenance : 05/03/2020

Résumé en langue originale

Ce texte est divisé en deux parties. Dans la première on définit la cohomologie L^p de certains espaces métriques Hyperboliques d'après Gromov relativement à un point dans son bord à l'infini. Deux aspects différents sont traités. En premier on étudie une version simpliciale de la cohomologie L^p adaptée aux complexes simpliciaux à géométrie bornée. On montre, de manière similaire au cas classique, qu'elle est invariante par quasi-isométries sous certaines hypothèses. Ensuite on définit une version relative de la cohomologie L^p de de Rham dans le cas des variétés riemanniennes. On étudie la relation entre ces deux notions, on en déduit que la deuxième version est aussi invariante par quasi-isometries sous certaines hypothèses. Comme application on étudie la cohomologie L^p relative à un point distingué dans le bord des groupes d'Heintze R^(n-1)⋊(α) R, où la dérivation α a toutes ses valeurs propres réelles positives λ(1) ≤ ... ≤ λ(n-1). Comme conséquence on obtient que les nombres λ(1)/tr(α) , ..., λ(n-1)/tr(α) sont invariants par quasi-isometries.Dans la deuxième partie on travaille avec la cohomologie d'Orlicz, une généralisation de la cohomologie L^p. On définit aussi une version relative et on adapte la preuve de l'invariance par quasi-isometries de la cohomologie d'Orlicz simpliciale. Comme résultat central de cette deuxième partie on démontre l'équivalence entre la cohomologie d'Orlicz simpliciale (relative) et la cohomologie d'Orlicz-de Rham (relative) pour les groupes de Lie. Une conséquence importante est l'invariance par quasi-isometries de la cohomologie d'Orlicz-de Rham dans le cas des groupes de Lie contractiles.

Résumé traduit

This work has two parts. In the first we define the L^p-cohomology of certain Gromov-hyperbolic spaces relative to a point on its boundary at infinity. This is done in two different contexts. First we consider a simplicial version, defined for simplicial complexes with bounded geometry. In a similar way as in the classical case we prove the quasi-isometry invariance under a contractibility condition. Then we define a relative version of the de Rham L^p-cohomology in the case of Riemannian manifolds. We study the relationship between these two definitions, which allows to conclude that this second version is also invariant under certain hypothesis. As an application we study the L^p-cohomology relative to a special point on the boundary of Heintze groups of the form R^(n-1)⋊(α) R, where the derivation α has positive eigenvalues λ(1) ≤ ... ≤ λ(n-1). As a consequence the numbers λ(1)/tr(α) , ..., λ(n-1)/tr(α) are invariant by quasi-isometries. In the second part we work with Orlicz cohomology, which is a generalization of L^p-cohomology. We also define a relative version and adapt the proof of the quasi-isometry invariance in the simplicial case. As the main result of this part we prove the equivalence between the simplicial (relative) Orlicz cohomology and the (relative) Orlicz-de Rham cohomology for Lie groups. An important consequence of this is the quasi-isometry invariance of Orlicz-de Rham cohomology in the case of contractible Lie groups.