Titre original :

Autour des équations stochastique fractionnaires : variations et estimation

Titre traduit :

On fractional stochastic heat equation : variation and estimation

Mots-clés en français :
  • Auto-similarité
  • Variation généralisée

  • Équations différentielles stochastiques
  • Équations différentielles fractionnaires
  • Équation de la chaleur
  • Équations d'onde
  • Estimation de paramètres
  • Laplacien
  • Bruit aléatoire, Théorie du
  • Mouvement brownien, Processus de
  • Langue : Français, Anglais
  • Discipline : Mathématiques et leurs interactions
  • Identifiant : 2020LILUI006
  • Type de thèse : Doctorat
  • Date de soutenance : 16/06/2020

Résumé en langue originale

Cette thèse est consacrée à l'étude de certaines classes d'équations aux dérivées partielles stochastiques de type fractionnaire dirigées par un bruit gaussien additif. Le caractère fractionnaire de ces équations est donné soit par l'opérateur différentiel qui intervient (le laplacien fractionnaire) ou bien par le bruit aléatoire. La perturbation aléatoire qui dirige ces équations peut avoir une corrélation en temps ou en espace. Dans un premier temps, on analyse l'équation de la chaleur stochastique avec un opérateur différentiel donné par le laplacien fractionnaire d'ordre alpha dans ]1, 2]. Le bruit aléatoire qui intervient dans cette équation est additif et il se comporte comme un processus de Wiener par rapport à la variable temporelle et comme un bruit blanc ou colorié par rapport à la variable spatiale. Nous obtenons des résultats concernant l'existence de la solution, la régularité de ses trajectoires ainsi que sa loi de probabilité. Nous remarquons un lien étroit entre la solution de l'équation fractionnaire de la chaleur et certains processus stochastiques fractionnaires (mouvement brownien fractionnaire ou bifractionnaire). En utilisant ce lien, nous étudions le comportement asymptotique des variations généralisées de la solution, en temps et en espace. Nous proposons également, dans la situation où l'équation initiale dépend d'un paramètre de dérive (ou de drift), des estimateurs pour ce paramètre. Les estimateurs s'expriment en fonction des variations généralisées de la solution et nous utilisons les comportements de celles-ci pour obtenir les propriétés asymptotiques (consistance, normalité asymptotique) de nos estimateurs.Dans un deuxième temps, on analyse l'équation stochastique des ondes sur un intervalle fini en espace. Ici le caractère fractionnaire est donné par le bruit gaussien qui se comporte comme un mouvement brownien fractionnaire avec un indice de Hurst H dans ]1/2,1[par rapport à la variable temporelle et comme un mouvement brownien standard en espace. Notre analyse est basé sur l'écriture sous la forme d'une série trigonométrique du noyau associé à l'équation des ondes. Des différentes propriétés de la solution sont ainsi obtenues, parmi lesquelles l'existence, la continuité holdérienne de ses trajectoires, la propriété dite de scaling et le comportement par rapport à l'indice de Hurst.

Résumé traduit

This doctoral thesis is devoted to the study of the fractional stochastic heat equation driven by additive Gaussian noises.The world "fractional" concerns the appearance of the fractional Laplacian operator or it refers to the driven fractional noise. The Guassian random may have a non tivial correlation in time and/or in space.First, we analyze the stochastic differential heat equation with a fractional Laplacian operator with exponent alpha in (1, 2). The random noise is considered to be white in time and white or colored with respect to the space variable. We obtain several results concerning the existence of the solution, the regularity of its paths and its law. We noticed a link between the solution of fractional heat equation and some fractional stochastic processes (Fractional Brownian motion or bi-Fractional Brownian motion). Using this link, we study the asymptotic behavior of the generalized variations of the solution, in time and in space. We also propose, in the situation where the initial equation depends on a drift parameter, estimators for this parameter. The estimators are expressed as a function of the generalized variations of the mild solution. We use the behavior of these variations to prove some asymptotic properties (the consistency, asymptotic normality) of our estimators.In a second time, we analyze the wave stochastic equation on a finite interval in space. In this case, the character “fractional” is given by the Gaussian noise which behaves in time as a Fractional Brownian motion with Hurst parameter H in (½,1) with respect to the variable of time and as a standard Brownian motion in space. Our analysis is based on the expression of the Green kernel associated to the wave equation, which can be written as a trigonometric series. We establish various properties for the solution, including the scaling property, the pathwise regularity or the asymptotic behavior with respect to the Hurst parameter.

  • Directeur(s) de thèse : Tudor, Ciprian A.
  • Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
  • École doctorale : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)

AUTEUR

  • Mahdi-Khalil, Zeina
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