Titre original :

Analyse par ondelettes de processus dans des chaos de Wiener

Titre traduit :

Wavelet analysis of stochastic processes in Wiener chaoses

Mots-clés en français :
  • Autosimilarité
  • Chaos de Wiener
  • Processus de Rosenblatt

  • Ondelettes
  • Mouvement brownien, Processus de
  • Processus stochastiques
  • Fractales
  • Multifractales
Mots-clés en anglais :
  • Séries aléatoires
  • Régularité hölderienne

  • Langue : Français, Anglais
  • Discipline : Mathématiques et leurs interactions
  • Identifiant : 2020LIL1I033
  • Type de thèse : Doctorat
  • Date de soutenance : 23-09-2020

Résumé en langue originale

Dans cette thèse, on s'intéresse à des extensions du mouvement brownien fractionnaire qui appartiennent à des chaos de Wiener. De façon générale un processus stochastique appartient à un chaos de Wiener (homogène) d'ordre n si ce processus peut être représenté par une intégrale (stochastique) de Wiener multiple d'ordre n ; il est non gaussien lorsque n>1. La complexité nettement plus grande de l'intégrale de Wiener multiple par rapport à l'intégrale de Wiener classique (c'est-à-dire d'ordre 1) rend l'étude des processus chaotiques beaucoup plus complexe que celle des processus gaussiens, et même des processus stables parfois. A titre d'exemples de difficultés, on peut mentionner que la non corrélation de deux variables aléatoires d'un chaos de Wiener non gaussien n'entraîne pas forcément leur indépendance ; et que contrairement aux processus gaussiens et stables les fonctions caractéristiques des lois fini-dimensionnelles des processus chaotiques ne sont pas données par des formules explicites et exploitables. A cause de telles difficultés les méthodes d’ondelettes ne se sont guère développées dans le cadre des chaos de Wiener non gaussiens. L’un des objectifs de la thèse est de mettre en place de nouvelles stratégies permettant de contourner ces difficultés et de développer ces méthodes. Un autre objectif est de construire des extensions chaotiques et non gaussiennes du mouvement brownien fractionnaire ayant une rugosité locale qui varie d'un point à un autre, et ensuite d'étudier de façon précise la régularité de leurs trajectoires.

Résumé traduit

In this PhD thesis, we are interested in extensions of the fractional Brownian motionwhich belong to Wiener chaoses. In general, a stochastic process belongs to a (homogeneous)Wiener chaos of order n if this process can be represented by a multiple (stochastic) Wienerintegral of order n ; it is non-Gaussian when n>1. The significantly greater complexity of the multipleWiener integral compared to the classical Wiener integral (i.e. of order 1) makes the study ofchaotic processes much more complex than that of Gaussian processes, and even of the stable processes sometimes. As examples of difficulties, it can be mentioned that the non-correlation of two random variables of a non-Gaussian Wiener chaos does not necessarily lead to their independence; and that, unlike Gaussian and stable processes, the characteristic functions of finite-dimensional distributions of chaotic processes are not given by explicit and exploitable formulas. Because of such difficulties wavelet methods have not been very developed in the context of non-Gaussian Wiener chaos. One of the goals of the thesis is to find new strategies allowing to circumvent these difficulties and to develop these methods. Another objective is to construct chaotic extensions of the fractional Brownian motion having a local roughness that varies from one point to another, and to study precisely the regularity of their paths.

  • Directeur(s) de thèse : Ayache, Antoine
  • Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
  • École doctorale : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)

AUTEUR

  • Esmili, Yassine
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