• Langue : Anglais
• Discipline : Mathématiques et leurs interactions
• Identifiant : 2019LILUI018
• Type de thèse : Doctorat
• Date de soutenance : 23/05/2019

Résumé en langue originale

Cette thèse concerne la topologie quantique, une branche des mathématiques née dans les années 1980 suite aux travaux de Jones, Drinfeld et Witten. Un exemple fondamental d'invariant quantique des 3-variétés est due à Turaev-Viro en 1992. Leur approche, dans sa forme générale due à Barrett et Westbury, utilise une catégorie de fusion sphérique comme ingrédient principal et consiste en une somme d'états sur un squelette de la 3-variété dont les sommets sont coloriés par les 6j-symboles de la catégorie.Le résultat principal de la thèse est la construction d'un invariant topologique des 3-variétés peignées (c'est-à-dire des 3-variétés munies d'un champ de vecteurs jamais nuls) qui généralise celui de Turaev-Viro. Ce nouvel invariant est défini au moyen d'une catégorie de fusion pivotale et consiste en une somme d'états sur un squelette ramifié représentant la 3-variété peignée.Lorsque la catégorie de fusion pivotale n'est pas sphérique, l'invariant permet en général de distinguer des champs de vecteurs non homotopes sur une même 3-variété. Ceci est montré en considérant une catégorie de fusion pivotale associée à un caractère d'un groupe fini. Pour cette catégorie, l'invariant correspond à l'évaluation par le caractère de la classe d'Euler d'un certain fibré vectoriel de rang 2 associé au champ de vecteurs.

Résumé traduit

This thesis concerns quantum topology, a branch of mathematics born in the 1980s after the work of Jones, Drinfeld and Witten. A fundamental example of a quantum invariant of 3-manifolds is due to Turaev-Viro in 1992. Their approach, in its general form due to Barrett and Westbury, uses a spherical fusion category as the main ingredient and consists in a state sum on a skeleton of the 3-manifold whose vertices are colored by the 6j-symbols of the category. The main result of the thesis is the construction of a topological invariant of combed 3-manifolds (that is, of 3-manifolds endowed with a nowhere-zero vector field) which generalizes that of Turaev-Viro. This new invariant is defined by means of a pivotal fusion category and consists in a state sum on a branched skeleton representing the combed 3-manifold. When the pivotal fusion category is not spherical, the invariant allows in general to distinguish non homotopic vector fields on the same 3-manifold. This is proved by considering a pivotal fusion category associated with a character of a finite group. For this category, the invariant corresponds to the evaluation by the character of the Euler class of a certain vector bundle of rank 2 associated to the vector field.