Note ABES Autour du problème d’Andreadakis On the Andreadakis problem Filtration (mathématiques) Morphisme de Johnson 514.2 Topologie algébrique Théorie combinatoire des groupes Groupes d'automorphismes Algèbres de Lie Théorie des tresses Catégories (mathématiques) Soit F? le groupe libre de rang n. On considère le groupe IA? des automorphismes de F? qui agissent trivialement sur son abélianisé. Deux filtrations canoniques de IA? sont définies : la première est sa suite centrale descendante ?_* ; la seconde est la filtration d’Andreadakis A_*, définie à partir de l’action sur F?. Le problème d’Andreadakis est l’étude de la différence entre ces deux filtrations. Après avoir mis en place un cadre général pour l’étude de telles filtrations et des filtrations sur les algèbres de groupes qui leur sont associées, nous étudions différentes versions de ce problème. En particulier, nous examinons sa restriction à certains sous-groupes de IA? : nous montrons que les deux filtrations coïncident si on les restreint aux groupes triangulaires et aux groupes de tresses. Nous examinons aussi le problème stable : nous montrons que le morphisme canonique entre les algèbres de Lie associées aux filtrations est surjectif si n est assez grand devant le degré considéré. Nous étudions également une version p-restreinte du problème, calculant au passage l’algèbre de Lie du groupe de congruence. Les méthodes employées sont essentiellement d’ordre algébrique. Elles proviennent de la théorie combinatoire des groupes ainsi que d’outils développés pour l’étude des groupes de difféotopie, et sont souvent reformulées avec un langage catégorique approprié. Let F? be the free group on n generators. Consider the group IA? of automorpisms of F? acting trivially on its abelianization. There are two canonical filtrations on IA?: the first one is its lower central series ?_*; the second one is the Andreadakis filtration A_*, defined from the action on F?. Andreadakis asked if and how these filtrations were different. We begin by describing a framework adapted to the study of such filtrations and their counterparts on group algebras. We then study several versions of the problem. In particular, we look at its restriction to some subgroups of IA? : we show that the two filtration coïncide when restricted to the triangular subroups and to braid groups. We also consider a stable version of the problem : we establish that the canonical morphism between the associated graded Lie rings is surjective when n is big enough compared to a fixed degree. We also investigate a p-restricted version of the Andreadakis problem, and provide a calculation of the Lie algebra of the classical congruence group. Our methods are algebraic in nature. The tools come from combinatorial group theory and the study of mapping class groups; we often introduce some categorical langage to reformulate them. Electronic Thesis or Dissertation Text fr PDF 1467473 text/html https://pepite-depot.univ-lille.fr/LIBRE/EDSPI/2018/50376-2018-Darne.pdf https://theses.fr/2018LILUI009/abes Darné Jacques Darné 1992-07-05 FR 231672624 https://theses.fr/2018LILUI009 2018LILUI009 https://doi.org/10.70675/f037ec98z4619z4ea6za177z24e225627c6f 2018-03-20 Mathématiques et leurs interactions Université de Lille (2018-2021) 223446556 Doctorat Docteur es non oui Touzé Antoine MADS_DIRECTEUR_DE_THESE_1 12596417X Djament Aurélien MADS_DIRECTEUR_DE_THESE_2 118909576 École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille ; 1992-2021) MADS_ECOLE_DOCTORALE_1 147297028 Laboratoire Paul Painlevé MADS_PARTENAIRE_DE_RECHERCHE_1 161603971 ddc:510 Touzé Antoine Djament Aurélien École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Lille) Laboratoire Paul Painlevé PDF 1467473