• Langue : Anglais
• Discipline : Mathématiques
• Identifiant : 2015LIL10064
• Type de thèse : Doctorat
• Date de soutenance : 22/09/2015

Résumé en langue originale

La (semi)stabilité, introduite par Mumford en 1963, sert à la construction d'espaces de modules de fibrés vectoriels par les méthodes de GIT. Dans la frontière de l'espace de modules compactifié apparaissent des faisceaux non localement libres. La thèse vise à proposer un nouveau stock d'objets de frontière plus maniables, dans le cas de dimension 2 et de rang 2, qui sont des fibrés sur des arbres de bulles A ayant S comme racine. La motivation vient de la théorie de jauge et de l'étude par Nagaraj-Seshadri et Teixidor i Bigas des fibrés sur des courbes réductibles. La semistabilité sur A dépend d'une polarisation, c'est à dire, d'un fibré en droites ample. Le domaine des paramètres de la polarisation est bien plus petit et les fibrés semistables sont plus rares en dimension 2 que dans le cas de courbes. Pour certaines polarisations, on donne des critères de semistabilité des fibrés sur A en fonction de leurs restrictions aux composantes de A. Bien que les faisceaux étudiés sur A soient des fibrés, leur sous-faisceaux potentiellement déstabilisants peuvent être juste réflexifs. On entreprend alors la classification des faisceaux réflexifs sur des arbres de bulles, basée sur les travaux de Burban-Drozd. On étudie ensuite les déformations des fibrés arboriformes. Le résultat principal est qu'un fibré stable sur A, pour certaines polarisations, est toujours la limite de fibrés stables sur S. Enfin, on compare le stock des fibrés stables arboriformes, limites d'instantons de charge 2 sur le plan projectif, avec celui de Markushevich-Tikhomirov-Trautmann, obtenu par une autre approche.

Résumé traduit

The (semi)stability, introduced by Mumford in 1963, was used for construction of moduli spaces of vector bundles by methods of GIT. In the boundary of the compactified moduli space appear non locally free sheaves. The thesis aims to propose a new stock of more manageable boundary objects, in the case of dimension 2 and rank 2, which are bundles on bubble trees A having S as root. Motivation comes from gauge theory and the study of bundles on reducible curves by Nagaraj-Seshadri and Teixidor i Bigas.The semistability on A depends on polarization, that is, on an ample line bundle. The domain of parameters of polarization is much smaller, and semistable bundles are more scarce in dimension 2 than in the case of curves. For certain polarizations, semistability criteria for bundles on A are given in terms of their restrictions to the components of A. Although the sheaves studied on A are bundles, their potentially destabilizing subsheaves can be just reflexive. Thence the classification of reflexive sheaves on bubble trees is undertaken, basing upon the work of Burban-Drozd. Next the deformations of tree-like bundles are studied. The main result is that a stable bundle on A, for certain polarizations, is always the limit of stable bundles on S. Finally, a comparison is made between the stock of stable tree-like bundles which are limits of instantons of charge 2 on the projective plane, and the one of Markushevich-Tikhomirov-Trautmann, obtained by a completely different approach.