Note ABES Cohomologie entière et fibrations lagrangiennes sur certaines variétés holomorphiquement symplectiques singulières Integer cohomology and Lagrangian fibrations on some singular holomorphically symplectic varieties Variété holomorphiquement symplectique irréductible Variété de Prym 514.224 Géométrie algébrique Variétés complexes Variétés symplectiques Cohomologie Groupes d'automorphismes Le point de départ de la thèse fut l'étude d'une variété holomorphiquement symplectique irréductible (VHSI) à singularités orbifold, de dimension 4, construite en 2007 par Markushevich—Tikhomirov comme une compactification d'une famille lagrangienne de surfaces de Prym de polarisation (1,2). La famille des surfaces de Prym en question est associée au système linéaire de courbes de genre 3 sur une surface K3 quartique, munie d'une involution anti-symplectique. Dans la première partie de la thèse, on calcule la forme de Beauville—Bogomolov (BB) sur la seconde cohomologie entière de cette VHSI. L'existence d'une forme BB sur les VHSI singulières aux singularités en codimension 4 était démontrée par Namikawa, mais aucun exemple explicite d'une telle forme n'était connu, et la thèse présente les premiers exemples explicites de formes BB de VHSI singulières. Le calcul de ces formes BB a nécessité de développer des outils permettant de déterminer la cohomologie entière de variétés quotientées par un groupe d'automorphismes d'ordre premier. Dans la deuxième partie de la thèse, la famille miroir de la VHSI de Markushevich—Tikhomirov, formée des surfaces abéliennes duales, est déterminée. Il se trouve qu'elle est aussi une famille de prymiennes, associée à une quartique K3 avec involution anti-symplectique, donc admet une compactification qui est la symétrique miroir de la VHSI d'origine. Une description géométrique très précise de cette correspondance est donnée, basée sur la construction bigonale de Pantazis. De plus, on montre que la symétrie miroir ainsi construite représente une involution birationnelle non-triviale sur l'espace de modules de VHSI de ce type. The starting point of the thesis was the study of a singular irreducible holomorphically symplectic variety (IHSV) of dimension 4 with orbifold singularities which was constructed by Markushevich—Tikhomirov in 2007 as a compactification of a Lagrangian family of (1,2)-polarized Prym surfaces. This family of Prym surfaces is associated to a linear system of genus-3 curves on a quartic K3 surface endowed with an anti-symplectic involution. In the fist part of the thesis, the Beauville—Bogomolov form (BB) on the second integer cohomology group of this IHSV is computed. The existence of the BB form for an IHSV with singular locus of codimension 4 was proved by Namikawa, but no explicit example of such a form was known. The thesis provides the first concrete examples of BB forms on singular IHSV. The calculation of these BB forms required the development of some tools for computing the integer cohomology of varieties quotiented by automorphism groups of prime order. In the second part of the thesis, the mirror family of dual abelian surfaces for the Markushevich—Tikhomirov IHSV is determined. As it turns out, it is also a family of Prym surfaces associated to a quartic K3 surface with an anti-symplectic involution and hence admits a compactification, which is the mirror of the original IHSV. A very precise geometric description of this duality is given, using Pantazis's bigonal construction. Moreover, it is proved that the mirror symmetry constructed in this way represents a non-trivial birational involution on the moduli space of Markushevich—Tikhomirov IHSV. Electronic Thesis or Dissertation Text en fr PDF 1121045 text/html https://pepite-depot.univ-lille.fr/LIBRE/EDSPI/2014/50376-2014-Menet.pdf https://theses.fr/2014LIL10050/abes Menet Grégoire Menet 1985-12-14 FR 181720825 https://theses.fr/2014LIL10050 2014LIL10050 https://doi.org/10.70675/5d1ddcedz194cz4858zbe93z847bfaba97e0 2014-07-09 Mathématiques Lille 1 026404184 Doctorat Docteur es non oui Markouchevitch Dimitri MADS_DIRECTEUR_DE_THESE_1 137487428 École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille ; 1992-2021) MADS_ECOLE_DOCTORALE_1 147297028 Laboratoire Paul Painlevé MADS_PARTENAIRE_DE_RECHERCHE_1 161603971 ddc:510 Markouchevitch Dimitri École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Lille) Laboratoire Paul Painlevé PDF 1121045